投射对象没有高次 Ext

命题： $P$ 投射 $\implies \operatorname{Ext}^{n}(P, M) = 0$ （ $n > 0$ ）

命题
依赖深度 layer 17
同调代数
复形与导出三角

prop.ext-projective-vanishes · 命题 · Ext · 投射对象 · 导出函子

又称投射对象没有高次 Ext·Exercise 7.24

陈述

设 $\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴， $P \in \mathcal{A}$ 是投射对象， $M \in \mathcal{A}$ 任意。则

\operatorname{Ext}^{n}_{\mathcal{A}}(P,\ M) = 0 \qquad (n > 0), \qquad \operatorname{Ext}^{0}_{\mathcal{A}}(P,\ M) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P,\ M).

注意：这句话不需要 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象 —— $P$ 投射本身就给出 $P$ 的一条长度 $0$ 的投射消解。

说明

证明。 $P$ 投射意味着函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P, -)$ 正合 ✓。而 $P$ 的投射消解可以取成

\cdots \to 0 \to 0 \to P \xrightarrow{\ 1\ } P \to 0,

即「长度 $0$ 的消解」（ $P$ 自己就是投射的，不需要再找覆盖）✓。把 $\operatorname{Hom}(P, -)$ 作用在 $M$ 的内射消解 $M \to I^{\bullet}$ 上：因为 $\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合、 $M \to I^{\bullet}$ 正合，复形 $\operatorname{Hom}(P, I^{\bullet})$ 只可能在 $0$ 次有上同调 ✓，即

R^{n}\operatorname{Hom}(P, M) = \operatorname{Ext}^{n}(P, M) = 0 \quad (n > 0) ✓

（也可以直接从 $\operatorname{RHom}(P, M) = \operatorname{Hom}(P, M)$ 这件事读出来：正合函子的右导出函子就是它自己。）∎

⭐ 对偶地：内射对象没有高次 Ext（ $\operatorname{Ext}^{n}(M, I) = 0$ ， $n>0$ ）—— 这两条合起来就是「投射 / 内射对象可以拿来替代消解里的项」的全部理由。

谁指向它（入边）

定义引用 2

扩展群 Ext → 本页定义引用

结论说的是扩展群 $\operatorname{Ext}^{n}(P,M)$ 。
投射 / 内射对象 → 本页定义引用

前提是 $P$ 投射，证明靠 $\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2

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