同调的两条正合列

命题： $0 \to H^{k} \to \operatorname{coker} d^{k-1} \to Z^{k+1} \to H^{k+1} \to 0$

命题
依赖深度 layer 17
同调代数
复形与导出三角

prop.cohomology-short-exact · 命题 · 同调 · 正合列 · 闭链

又称同调的两条正合列·Exercise 7.13

陈述

设 $\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴， $K^{\bullet}$ 是 $\mathcal{A}$ 中的上链复形。记 $Z^{k} := \ker d^{k}$ （闭链）、 $B^{k} := \operatorname{im} d^{k-1}$ （上边缘），于是 $H^{k} = Z^{k}/B^{k}$ 。则对每个 $k$ 有处处正合的列

0 \longrightarrow H^{k} \longrightarrow \operatorname{coker}\bigl(d^{k-1}\bigr) \longrightarrow Z^{k+1} \longrightarrow H^{k+1} \longrightarrow 0.

说明

证明。 $d^{k}\circ d^{k-1} = 0$ 说明 $d^{k}$ 诱导出一个映射

D : \operatorname{coker}(d^{k-1}) = K^{k}/B^{k} \longrightarrow Z^{k+1},

（良定义： $B^{k} \subseteq Z^{k}$ ，因为 $d^{k}$ 把 $B^{k}$ 杀死 ✓）。逐段读这条列：

$H^{k} = \ker D$ ： $D$ 的核是 $Z^{k}/B^{k}$ ，正是 $H^{k}$ ✓，这就是左端的正合性；
$\operatorname{im}D = B^{k+1}$ ： $D$ 的像就是 $d^{k}(K^{k}) = B^{k+1}$ ✓，这就是中间的正合性；
$\operatorname{coker}D = Z^{k+1}/B^{k+1} = H^{k+1}$ ✓，即右端的正合性。

三段合起来就是整条列处处正合 ✓。∎ ⭐ 这条列常常写成两条短正合列再拼起来：

0 \to H^{k} \to K^{k}/B^{k} \to B^{k+1} \to 0, \qquad 0 \to B^{k+1} \to Z^{k+1} \to H^{k+1} \to 0.

后面构造谱序列时用的正是这两条。

⭐ 用途：它把「同调」拆成两条只管闭链与上边缘的短正合列。谱序列的全部技术内容就是在这些短正合列之间做逐步比较。

谁指向它（入边）

定义引用 2

同调 → 本页定义引用

列的两端就是同调 $H^{k}$ 。
加法 / 阿贝尔范畴 → 本页定义引用

核、像、余核与正合都在阿贝尔范畴里说。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1

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