同调

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 长正合列推出
  短正合列 $\implies$ 长正合列

  设 $0 \to K \xrightarrow{\ f\ } L \xrightarrow{\ g\ } M \to 0$ 是复形的短正合列。

  第一步：短正合列给出导出三角。 考虑 $f$ 的映射锥的含入 $L \to M(f)$。由 $g \circ f = 0$ 与短正合列的泛性质，有一条自然映射

  $$M(f) \longrightarrow M, \qquad (k^{n+1}, l^{n}) \mapsto g^{n}(l^{n})$$

  它是复形态射（与微分交换，因为 $g \circ d_{L} = d_{M} \circ g$ 且 $g \circ f = 0$）。由短正合列上逐项的正合性（五引理），这条映射是拟同构，于是三角

  $$K \xrightarrow{\ f\ } L \xrightarrow{\ g\ } M \xrightarrow{\ \delta\ } K[1]$$

  在 $\mathbf{K}(\mathcal{A})$ 中是导出的。∎

  第二步：旋转并取同调。 把上一步的三角反复旋转，得到一族导出三角

  $$K[n] \to L[n] \to M[n] \to K[n+1], \qquad (n \in \mathbb{Z})$$

  对每个这样的三角作用同调函子 $H^{0}$：因为 $H^{0}$ 是上同调函子，序列

  $$H^{0}(K[n]) \to H^{0}(L[n]) \to H^{0}(M[n])$$

  正合，而 $H^{0}(K[n]) = H^{n}(K)$（位移的性质）。把这些正合的三项片段在连接同态 $\delta$ 处首尾相接，就得到长正合列

  $$\cdots \to H^{n}(K) \to H^{n}(L) \to H^{n}(M) \xrightarrow{\ \delta\ } H^{n+1}(K) \to \cdots$$

  ∎

  连接同态 $\delta$ 是从哪来的。 它就是三角里的第三条腿 $M \to K[1]$ 取同调之后的样子：一个 $H^{n}(M) \to H^{n+1}(K)$ 的映射，把「$M$ 里的元素」送上「$K$ 的下一个同调」。它之所以存在，唯一的原因就是映射锥给了第三条腿 —— 短正合列本身只给出前两条腿。∎

  经典证明用蛇引理，这里用映射锥 + 旋转。两条路都通，但后者的好处是：连接同态是什么这件事，一眼就能看出来。

定义引用 4

• 同调的两条正合列 用到 本页定义引用

  列的两端就是同调 $H^{k}$。

• 长正合列 用到 本页定义引用

  长正合列里跑的是同调。

• 上同调函子 用到 本页定义引用

  上同调函子是把导出三角变成正合列的那些函子。

• 拟同构 用到 本页定义引用

  拟同构说的是「同调全都是同构」。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 上链复形 → 本页定义引用

  同调是复形的 $\ker d^{n} / \operatorname{im} d^{n-1}$。

• 等化子 / 余等化子 → 本页定义引用

  同调里出现的 $\ker$ 与 $\operatorname{im}$ 是等化子与像。