消解

定义：左/右消解、投射/内射消解

def.resolution · 定义 · 消解 · 内射消解 · 投射消解 · 拟同构

又称Definition 7.1.20·Def 7.1.20

陈述

设 f:K∙→L∙f : K^{\bullet} \to L^{\bullet} 是复形之间的拟同构，就说 L∙L^{\bullet} 是 K∙K^{\bullet} 的一个右消解（right resolution，也叫 replacement）；若每个 LnL^{n} 都是内射对象，就叫内射消解。

把箭头反过来（即到 Aop\mathcal{A}^{\mathrm{op}} 里去取同样的定义），得到左消解；若每个 LnL^{n} 都是投射对象，就叫投射消解。

说明

为什么要「消解」。 导出函子要拿好算的复形去算：内射对象上任何加法函子的高次导出函子为零，所以用内射消解算 RnFR^{n}F 时，只需取 FF 再算同调 —— 这就是「消解」的全部意义 ✓。

⚠️ 名字说的是复形朝哪一侧延伸（右消解朝高次方向延伸），不是箭头的方向：箭头始终是 K∙→L∙K^{\bullet} \to L^{\bullet}。反过来的箭头叫左消解。

存在性：有足够多内射时，每个下有界复形都有内射消解（逐次把核嵌入内射对象）✓；对偶地，有足够多投射时每个上有界复形都有投射消解 ✓。

例：自由阿贝尔群层拼出的 Z⋅X∙→Z⋅X\mathbb{Z}\cdot X_{\bullet} \to \mathbb{Z}\cdot X 是一条投射消解（见「覆盖给出的自由复形零调」）。

它指向谁（出边）

定义引用 1

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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