内射对象的判据injective criterion

内射对象的四条等价说法

prop.injective-criterion · 同调代数 · 内射对象 · 正合

又称内射对象的判据·injective criterion·Baer 判据·Exercise 7.18

陈述

设 A\mathcal{A} 是阿贝尔范畴，I∈AI \in \mathcal{A}。下列等价：

  1. II 是内射对象；
  2. 每个单态射 I↣MI \rightarrowtail M 都有收缩 M→IM \to I；
  3. 函子 Hom⁡A(−,I)\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(-, I) 正合；
  4. 每个短正合列 0→I→M→M′′→00 \to I \to M \to M'' \to 0 都分裂。

进一步：若 0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 正合且 M′M' 内射，则

M 内射  ⟺  M′′ 内射M \text{ 内射} \iff M'' \text{ 内射}

说明

证明用一张 3×33 \times 3 的 Hom⁡\operatorname{Hom} 图表：把短正合列 0→A→B→C→00 \to A \to B \to C \to 0 用 Hom⁡(−,M)\operatorname{Hom}(-, M) 家族拉成三行，用两次蛇引理读出中间一行 0→ker⁡f→ker⁡g→ker⁡h→coker⁡f→coker⁡g→00 \to \ker f \to \ker g \to \ker h \to \operatorname{coker} f \to \operatorname{coker} g \to 0，再看出第一行与第三行都是正合的，于是 ker⁡g=coker⁡g=0\ker g = \operatorname{coker} g = 0。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 1 条

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