# 内射对象的判据　`prop.injective-criterion`
内射对象的四条等价说法
layer 15 · 命题 · 同调与正合列 · 同调代数
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设 $\mathcal{A}$ 是阿贝尔范畴，$I \in \mathcal{A}$。下列等价：

1. $I$ 是**内射对象**；
2. 每个单态射 $I \rightarrowtail M$ 都有**收缩** $M \to I$；
3. 函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(-, I)$ **正合**；
4. 每个短正合列 $0 \to I \to M \to M'' \to 0$ 都**分裂**。

进一步：若 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ 正合且 $M'$ 内射，则
> 陈述续见 [nodes/prop.injective-criterion.2.md](./prop.injective-criterion.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.injective-criterion.3.md](./prop.injective-criterion.3.md)

## 它能推出什么 / 谁在用它
- …另有出边，续页见 [nodes/prop.injective-criterion.4.md](./prop.injective-criterion.4.md)

refs: Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1–7.3

> 说明见 `notes/prop.injective-criterion.md`

引用：`prop.injective-criterion`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)