投射 / 内射对象

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Gleason 定理推出
  投射对象 $\iff$ Stonean 空间

  （投射 $\Longrightarrow$ Stonean） 设 $S$ 是 $\mathbf{CHaus}$ 的投射对象，要证 $S$ 极端不连通，即任一开集 $U$ 的闭包闭开。

  令 $F := U^{c}$，考虑 $p : U \sqcup F \to S$（$U \sqcup F$ 取不交并拓扑，$p$ 在 $U$ 与 $F$ 上取含入）—— 它是连续满射。由投射性，$p$ 有连续截面 $s : S \to U \sqcup F$，即 $p \circ s = 1_{S}$。

  于是 $s(U) \subseteq U$ 且 $p(s(U)) = U$；又 $p(F) \cap U = \emptyset$ 迫使 $s(U) \subseteq U$。开集在连续映射下的原像开：$U = s^{-1}(U)$ 是开的；再由 $s^{-1}(F) = U^{c}$ 也开可得 $U$ 闭。所以 $U$ 闭开，$S$ 极端不连通。∎

  （Stonean $\Longrightarrow$ 投射） 因为 $\mathbf{CHaus}$ 有纤维积、满态射在这里是「universal」的，投射性等价于「每个满态射都有截面」。所以只要证：$S$ Stonean 时每个满态射 $f : T \to S$ 都有截面。

  由「满射有极小闭子集」那条引理，可以设 $f$ 在极小意义下满：即没有真闭子集 $T' \subset T$ 使 $f|_{T'}$ 满。我们来证这样的 $f$ 是单射。

  反设 $x \ne x' \in T$ 且 $f(x) = f(x')$。取不交邻域 $U \ni x$、$U' \ni x'$。$f$ 是闭映射（紧到 Hausdorff 的连续映射把闭集送到闭集），所以 $S_{1} := f(U^{c})$ 与 $S_{1}' := f(U'^{c})$ 是 $S$ 中的闭集。由 $f$ 的极小满性，$f|_{U^{c}}$ 与 $f|_{U'^{c}}$ 都不满，故 $S_{1}, S_{1}' \subset S$；于是它们各自的补 $V := S \setminus S_{1}$、$V' := S \setminus S_{1}'$ 是非空开集，且 $V \subseteq f(U)$、$V' \subseteq f(U')$。

  $f(x) = f(x') \in V \cap V'$，所以 $V \cap V' \ne \emptyset$。又 $U, U'$ 不交，故 $f(U) \cap f(U')$ 中的点只有可能来自交叠，于是 $V \cap V' \subseteq \overline{f(U)} \cap \overline{f(U')}$。而 $V \cap V'$ 非空是开集、$S$ 极端不连通意味着不交开集的闭包不交（前一条性质），矛盾。

  所以 $f$ 是单射，从而是同胚，于是它有截面。∎

  两个方向用的是同一条投射性的两种面貌：一面是「把对象从它的两块拼回来」（$U \sqcup F \to S$ 有截面），另一面是「每个满射有截面」。

定义引用 14

• Stonean 上 Z[S] 的 RHom 用到 本页定义引用

  证明的关键是 $\mathbb{Z}[S]$ 在 Stonean 上投射。

• 离散空间上 Z[E] 的 RHom 用到 本页定义引用

  自由对象 $\mathbb{Z}[E]$ 是投射的（投射对象的直和仍投射）。

• 投射对象没有高次 Ext 用到 本页定义引用

  前提是 $P$ 投射，证明靠 $\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合。

• 自由的预层是投射的 用到 本页定义引用

  结论就是「投射对象」。

• 投射对象与满态射的截面 用到 本页定义引用

  命题给出投射性的可操作判据。

• Gleason 定理 用到 本页定义引用

  Gleason 定理把 $\mathbf{CHaus}$ 的投射对象认了出来。

• 自由紧 Haus 是投射对象 用到 本页定义引用

  命题的结论是「自由紧 Hausdorff 空间是投射对象」。

• FCHaus 上的预拓扑 用到 本页定义引用

  「满射有截面」说的是这些对象投射。

• Cond 有足够多投射对象 用到 本页定义引用

  命题说自由紧 Hausdorff 空间在 $\mathrm{Cond}$ 里是投射对象。

• Stonean 给出有限表现投射对象 用到 本页定义引用

  结论说 $\mathbb{Z}\cdot F$ 是投射对象。

• CondAb 由有限表现投射对象生成 用到 本页定义引用

  生成元取的是有限表现的投射对象。

• 内射对象的判据 用到 本页定义引用

  命题给出内射对象的四条等价刻画。

• 足够多投射对象 用到 本页定义引用

  「足够多投射对象」。

• 投射对象的余积投射 用到 本页定义引用

  命题说的是投射对象。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 单态射 / 满态射 / 同构 → 本页定义引用

  投射性的定义要求「满态射有提升」，内射性对偶地要求「单态射有延拓」—— 纯箭头语言。