投射对象与满态射的截面

说明

证明。

$(\Longleftarrow)$ 给满态射 $p : Y \twoheadrightarrow Z$ 与 $f : X \to Z$。取拉回 $X \times_{Z} Y \to X$：由万有性它是满态射 ✓，于是有截面 $s$ ✓；$s$ 与第二条投影复合给出 $X \to Y$ 使 $p \circ (\text{复合}) = f$ ✓，即 $f$ 提升 ✓。

$(\Longrightarrow)$ 满态射 $Y \twoheadrightarrow X$ 本身就是一次提升测试（拿 $1_{X}$ 去提升）✓。∎