分式演算下的局部化calculus of fractions

说明

证明（Gabriel–Zisman 的构造，逐条用掉三个条件）。 设 $W$ 容许右分式演算。

• 分式与等价：一个分式是 $X \xleftarrow{\ w\ } X' \xrightarrow{\ f\ } Y$（$w \in W$）；两个分式等价，如果存在 $X''\xrightarrow{v}X'$、$X''\xrightarrow{v'}X'$ 使 $w v = w' v'$（$\in W$）且 $f v = f' v'$ ✓。
• 等价关系：自反、对称显然；传递性用 Ore 条件 2 把两次比较拉到同一个 $X''$ 上，再用 消去条件 3 处理剩下的差异 ✓。
• 复合：两个分式的复合要「通分」——把 $f_{1}$ 与 $w_{2}$ 按 条件 2 摆成一个方块，得到一个公共的 $Z$，于是复合仍是单分式；换代表元不改变复合类（同样靠 2、3）✓。
• 范畴：恒等取 $1_{X}$（$X \xleftarrow{1}X\xrightarrow{1}X$，条件 1 给出 $1 \in W$）；结合律由构造直接验（三条条件保证「通分」的结果与顺序无关）✓。
• 泛性质：记得到的范畴为 $\operatorname{Frac}_{W}(\mathcal{C})$，函子 $\mathcal{C}\to\operatorname{Frac}_{W}(\mathcal{C})$ 把每个 $w\in W$ 变成同构（$w$ 的逆就是分式 $X \xleftarrow{w}X'\xrightarrow{1}X'$）✓；任何把 $W$ 变成同构的函子 $H$ 都用 $H(f)H(w)^{-1}$ 唯一分解 ✓。

于是 $\operatorname{Frac}_{W}(\mathcal{C}) \simeq \mathcal{C}[W^{-1}] = \mathrm{ho}(\mathcal{C})$，且 $\operatorname{Hom}$ 就是分式的商集 ✓。∎ ⚠️ 少了 Ore 或消去条件，局部化仍然存在，但它的 Hom 一般不是分式的商集 —— 这正是「分式演算」存在的意义。

⭐ 直觉：Ore 条件说的是「分式能做通分」—— 一个 $W$ 里的态射跟在前面，总能换成一个 $W$ 里的态射跟在后面，于是分式可以统一写成「先逆一个、再走一个」的单分式 $f \circ w^{-1}$，复合起来才封得住。消去条件保证「等价」这件事本身是好的。

与环论对照：这正是交换环里局部化 $S^{-1}A$（$S$ 是乘性子集）的那个条件；那里的「分式」$a/s$ 就是这里的分式，Ore 条件在交换的情形自动成立。

⚠️ 局部化总是存在（上一条），但不总是能这样具体算 —— 分式演算是一条足够好用的充分条件。