K(A) 允许分式演算

说明

预备：锥零调 $\iff$ 拟同构。 复形态射 $s : K^{\bullet} \to L^{\bullet}$ 是拟同构，当且仅当它的映射锥 $M(s)^{\bullet}$ 零调 —— 三角 $K^{\bullet} \to L^{\bullet} \to M(s)^{\bullet} \to K^{\bullet}[1]$ 取同调得长正合列，$M(s)$ 零调正是「$H^{n}(s)$ 全是同构」。

Ore 条件。 给定拟同构 $w : L'^{\bullet} \to L^{\bullet}$ 与任意 $f : K^{\bullet} \to L^{\bullet}$。记 $\theta := f - w : K^{\bullet} \oplus L'^{\bullet} \to L^{\bullet}$，取它的移位锥 $N^{\bullet} := M(\theta)[-1]$ —— 锥的三角给出两个态射，方形交换

为什么 $t$ 是拟同构。 关键在「把 $w$ 放在 $\theta$ 的第二个分量」：于是 $\theta_{$}θ∗​ 的第二分量是 $w_{$}，可逆，所以 $\theta_{$}θ∗​ 是满的，三角的长正合列就把 $M(\theta)$ 的同调压进 $\ker \theta_{$} 里：

• $\theta_{$}θ∗​ 满，故连接同态为零，$H^{n}(M(\theta)) \cong \ker \theta_{$}^{n}；
• $\ker \theta_{$}^{n} = \{(k, \ell) : f_{}k = w_{}\ell\} \xrightarrow{\;\sim\;} H^{n}(K^{\bullet})kerθ∗n​={(k,ℓ):f∗​k=w∗​ℓ}∼​Hn(K∙)（给定 $k$，$\ell = w_{$}^{-1}f_{*}k 唯一）；
• 这条同构下 $H^{n}(N^{\bullet}) = H^{n-1}(M(\theta)) \xrightarrow{\;t_{$}\;} H^{n}(L'^{\bullet})Hn(N∙)=Hn−1(M(θ))t∗​​Hn(L′∙) 就是 $w_{$}^{-1}f_{*}，是同构。

消去条件。 设 $f \circ s \simeq g \circ s$（$s$ 是拟同构），记 $h := f - g$。则 $h s \simeq 0$；由映射锥的泛性质，$h$ 分解成 $L^{\bullet} \xrightarrow{\;i\;} M(s)^{\bullet} \xrightarrow{\;h'\;} M^{\bullet}$。取 $t : M^{\bullet} \to M(h')^{\bullet}$ 为映射锥的包含，则 $t h \simeq 0$；而三角 $M(s) \xrightarrow{h'} M^{\bullet} \xrightarrow{t} M(h') \to M(s)[1]$ 的长正合列配上「$M(s)$ 零调」给出 $H^{n}(M^{\bullet}) \cong H^{n}(M(h')^{\bullet})$ —— 所以 $t$ 是拟同构，于是 $t f \simeq t g$。

恒等是拟同构、拟同构对复合封闭 —— 这两条平凡（$H^{n}$ 是函子）。左分式演算把同一套构造放到 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ 里做（等价地：让 $\theta$ 的拟同构分量换到第一边）即得。∎

⭐ 意义：有了它，$D(\mathcal{A})$ 的态射就能老老实实写成屋顶 $K^{\bullet} \xleftarrow{\;\sim\;} K'^{\bullet} \longrightarrow L^{\bullet}$，不必去处理任意长的分式链。