加法函子保导出三角

说明

证明。 导出三角的定义是「同构于某个映射锥三角」。逐条检查：

• $F$ 保映射锥：$M(f)^{n} = K^{n+1} \oplus L^{n}$ 而微分是分块矩阵 $\begin{pmatrix} -d^{n+1} & 0 \\ f^{n} & d^{n} \end{pmatrix}$。$F$ 加法，故保有限双积（$F(K^{n+1}\oplus L^{n}) = FK^{n+1}\oplus FL^{n}$）✓，而分块矩阵的两个条件（与微分交换、左上取 $-d$）都是等式，逐项被 $F$ 保持 ✓。于是 $F(M(f)) \cong M(Ff)$ ✓。
• $F$ 保平移：$F(K[1]) = F(K)[1]$（逐项作用与指标无关）✓。
• $F$ 保同构与同伦类：$F$ 是函子，把同构送到同构、把 $\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 的态射送到 $\mathbf{K}(\mathcal{C}')$ 的态射 ✓。

于是任何导出三角（$\cong$ 某个映射锥三角）被 $F$ 送到 $\cong$ $F$ 的映射锥三角，仍是导出三角 ✓。 ⚠️ 这里必须用加法性：非加法函子不保双积，$F(K^{n+1}\oplus L^{n}) \ne FK^{n+1}\oplus FL^{n}$，论证立刻断掉。∎

⭐ 推论：任何加法函子都诱导同伦范畴之间的函子 $\mathbf{K}(\mathcal{C}) \to \mathbf{K}(\mathcal{C}')$，并保持三角结构 —— 这是「导出范畴之间也能搬东西」的第一步。