映射锥

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 三角的旋转与延拓推出
  映射锥 $\implies$ 三角可旋转、可延拓

  旋转。 不妨设 $M = M(f)$，即三角是 $K \xrightarrow{\ f\ } L \to M(f) \to K[1]$。要证 $L \to M(f) \to K[1] \to L[1]$ 导出。把 $g : L \to M(f)$ 取成含入 $(0, 1)^{\mathrm{T}}$，则它的映射锥是

  $$M(g)^{n} = L^{n+1} \oplus M(f)^{n} = L^{n+1} \oplus K^{n+1} \oplus L^{n}$$

  再给出 $K[1]$ 与 $M(g)$ 之间的两个互逆（同伦意义下）映射 $\varphi, \psi$，以及同伦 $s$ 使 $s \circ \varphi \sim 1$。逐项算完即得两个三角在同伦范畴里同构，于是旋转后的三角也是导出的。∎

  反复旋转就得到整条长序列 $\cdots \to K \to L \to M \to K[1] \to L[1] \to \cdots$。∎

  延拓。 给定 $f : K \to L$，直接取三角 $K \to L \to M(f) \to K[1]$ 即得第 3 条。

  给定三角态射的左边两步 $u : K' \to K''$、$v : L' \to L''$，先把 $f'$ 与 $f''$ 都取成映射锥的形式。要造 $w$，令其矩阵形式为

  $$w := \begin{pmatrix} s^{n+1} & v^{n} \end{pmatrix} : K'^{n+1} \oplus L'^{n} \longrightarrow K''^{n+1} \oplus L''^{n}$$

  其中 $s$ 是 $v \circ f' - f'' \circ u$ 的一个同伦（它零伦来自三角的交换性）。逐项验证 $w \circ d = d \circ w$ 即可，这一步用到同伦方程本身。∎

  推论（映射锥唯一）。 两个都是 $f$ 的锥的三角都是导出的，于是它们之间有一个「前两步都是恒等」的三角态射；由「前两步同伦等价则第三步也同伦等价」（下一条引理），这两个锥同伦等价。∎

  证明的模式很固定：先把三角摆成映射锥的样子，然后矩阵硬算。同伦范畴里所有三角的定理都是这么来的。

定义引用 2

• 导出三角 用到 本页定义引用

  导出三角的定义就是「同构于某个映射锥三角」。

• 正合列给出导出三角 用到 本页定义引用

  那个三角就是映射锥三角。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 上链复形 → 本页定义引用

  映射锥是一个复形，它的微分靠拼接造出来。

• 纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

  映射锥逐项取的是 $K^{n+1} \oplus L^{n}$ —— 加法范畴里的双积。