正合列给出导出三角

说明

本质上是说：这个短正合列「就是」某个映射锥三角（在 $D(\mathcal{A})$ 里同构于 $K^{\bullet} \xrightarrow{f} L^{\bullet} \to M(f) \to K^{\bullet}[1]$）。

证明。 由映射锥的显式写法（$M(f)^{n} = L^{n}\oplus K^{n+1}$），复合

是复形态射（把 $L^{n}$ 那一块投过去），记作 $\varphi : M(f)^{\bullet} \to M^{\bullet}$。于是有复形的短正合列

而 $M(\mathrm{id}_{K^{\bullet}})$ 是零调的（$\mathrm{id}_{K}$ 是拟同构；显式看就是可缩复形）。取长正合列，两头零调把首尾杀掉，读出 $\varphi$ 是拟同构 —— 于是它在 $D(\mathcal{A})$ 里是同构，三角 $K^{\bullet} \xrightarrow{f} L^{\bullet} \to M(f)^{\bullet} \to K^{\bullet}[1]$ 与要的那条同构。∎

⭐ 这就是长正合列的来源：有了三角，取同调函子（三角 $\implies$ 同调长正合列）就直接得到长正合列 —— 见「导出函子的长正合列」。