Hom 在同伦范畴与导出范畴里一样

说明

要用的那条引理。 若 $s : K'^{\bullet} \to K^{\bullet}$ 是拟同构、$I^{\bullet} \in C^{+}(\mathcal{I})$，则「右乘 $s$」

是双射。证：把 $s$ 补成三角 $K'^{\bullet} \to K^{\bullet} \to M^{\bullet} \to K'^{\bullet}[1]$（$M^{\bullet}$ 零调），对共调函子 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{K}}(-, I^{\bullet})$ 取长正合列得

再用「零调的源到上有界内射复形的态射同伦于零」（逐项提升造同伦 $s^{n+1} \circ d^{n} = f^{n} - d^{n-1}\circ s^{n}$）把两头杀掉。

满。 $D$ 里的态射是屋顶 $K^{\bullet} \xleftarrow{\;s\;} K'^{\bullet} \xrightarrow{\;q\;} I^{\bullet}$（$s$ 拟同构）。由引理「右乘 $s$」是满射，存在 $p : K^{\bullet} \to I^{\bullet}$ 使 $p s \simeq q$ —— 屋顶与直接态射 $p$ 在 $D$ 里表示同一个态射。

单。 若 $p, p'$ 在 $D$ 里相等，则存在拟同构 $s$ 使 $p s \simeq p' s$（屋顶的等价关系按定义就是「存在公共细化」）；由引理「右乘 $s$」是单射，得 $p \simeq p'$。∎

⭐ 用途：这是「上有界内射复形就是导出范畴」与「用内射消解算 $R\operatorname{Hom}$」两件事的共同地基 —— 以 $I^{\bullet}$ 为靶时，同伦类和导出态射没有区别，于是可以安心在 $\mathbf{K}$ 里算。