左正合性与 R⁰

命题：FF 左正合   ⟺  \iff R0F≅FR^{0}F \cong F

prop.left-exact-iff-R0 · 命题 · 导出函子 · 左正合 · 内射消解

又称左正合与 R⁰·Exercise 7.23

陈述

设 A\mathcal{A} 是阿贝尔范畴（有足够多内射）、A′\mathcal{A}' 是阿贝尔范畴，F:A→A′F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}' 是加法函子。则

F 左正合  ⟺  ∀M∈A: R0F(M)≅F(M).F \text{ 左正合} \iff \forall M \in \mathcal{A}:\ R^{0}F(M) \cong F(M).

对偶地（有足够多投射时）：FF 右正合   ⟺  L0F≅F\iff L_{0}F \cong F。

说明

证明。 (⟹)(\Longrightarrow) 取 MM 的一条内射消解 0→M→ ε I0→ d0 I1→⋯0 \to M \xrightarrow{\ \varepsilon\ } I^{0} \xrightarrow{\ d^{0}\ } I^{1} \to \cdots ✓。FF 左正合，所以它把上半段正合列送到正合列

0⟶FM→ Fε FI0→ Fd0 FI1✓0 \longrightarrow FM \xrightarrow{\ F\varepsilon\ } FI^{0} \xrightarrow{\ Fd^{0}\ } FI^{1} ✓

于是由 R0F(M)=H0(FI∙)R^{0}F(M) = H^{0}(FI^{\bullet}) 的定义

R0F(M)=ker⁡(Fd0)=im⁡(Fε)≅FM✓R^{0}F(M) = \ker(Fd^{0}) = \operatorname{im}(F\varepsilon) \cong FM ✓

(⟸)(\Longleftarrow) 设 R0F≅FR^{0}F \cong F。短正合列 0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 的长正合列开头是

0→R0F(M′)→R0F(M)→R0F(M′′)→R1F(M′)→⋯0 \to R^{0}F(M') \to R^{0}F(M) \to R^{0}F(M'') \to R^{1}F(M') \to \cdots

用 R0F≅FR^{0}F \cong F 换掉前三项，得到 0→FM′→FM→FM′′0 \to FM' \to FM \to FM'' 正合 ✓，即 FF 左正合 ✓。∎

⭐ 一句话：左正合性可以只用 00 次导出函子来检验。反过来，这也解释了为什么「R0F=FR^{0}F = F」在导出函子的记号里被当成左正合的默认性质。

⚠️ 前提「FF 加法」不能省：非加法函子的导出函子没有意义（导出函子是在加法范畴的复形上定义的）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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