Ext 就是 RHom

说明

证明。 右边 $\operatorname{Ext}^{n}(M, K^{\bullet}) = \operatorname{Hom}_{D}(M, K^{\bullet}[n])$，左边用内射消解算。先化到 $K^{\bullet}$ 本身就是内射复形的情形（一般情形取内射消解 $K^{\bullet} \to I^{\bullet}$，两边都对它不变）。于是由「上有界内射复形里 Hom 就是导出 Hom」

而最右边正是 $R^{n}\operatorname{Hom}(M, I^{\bullet})$（内射复形上 $R\operatorname{Hom} = \operatorname{Hom}$）。 最后那步 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{K}} = H^{0}(\operatorname{Hom})$ 要交代一句：

• $\operatorname{Hom}_{C}(M, I^{\bullet}) = Z^{0}\bigl(\operatorname{Hom}(M, I^{\bullet})\bigr)$ —— 链映射就是「$f : M \to I^{0}$ 且 $d^{0} f = 0$」，即 $0$-闭上链；
• $f$ 同伦于零 $\iff$ $f = d^{0} \circ s$（$M$ 集中在 $0$ 次，同伦只剩一项），即 $f \in B^{0}$。

两句话一比即得。∎

⭐ 读法：$\operatorname{Ext}$ 有两种算法 —— 导出范畴里的 Hom，和用内射消解算的 $R^{n}\operatorname{Hom}$；这条说它们给出同一个东西，所以实践中挑好算的那个。