三角态射的性质

说明

证明第 2 条（三角的五引理）。 取任意 $T \in \mathbf{K}(\mathcal{C})$，对共调函子 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{K}}(T, -)$ 作用在两个三角上，得两条长正合列，并由 $(u, v, w, u[1], v[1], w[1])$ 连起来：

若 $u, v$ 是同伦等价，则 $u_{$}, v_{} 以及它们的平移 $u[1]_{$}, v[1]_{} 都是双射 —— 五引理把中间的 $w_{*}$ 夹成双射。这对每个 $T$ 都成立，于是由 Yoneda 引理，$w$ 本身就是同伦等价。∎

证明第 1 条。 设三角 $K \xrightarrow{f} L \xrightarrow{g} M \xrightarrow{h} K[1]$ 到自身有态射 $(0, 0, w)$，于是 $g v = w g$、$h w = u[1] h$，即

• 由 $w g = 0$：把共调函子 $\operatorname{Hom}(-, M)$ 作用在三角上得长正合列 $\operatorname{Hom}(K[1], M) \xrightarrow{\;h^{$}\;} \operatorname{Hom}(M, M) \xrightarrow{\;g^{}\;} \operatorname{Hom}(L, M)，而 $g^{$}(w) = w g = 0g∗(w)=wg=0，所以 $w$ 落在 $\operatorname{im} h^{$} 里：存在 $w_{1} : K[1] \to M$ 使 $w = w_{1} \circ h$；
• 由 $h w = 0$ 得 $(h w_{1}) \circ h = 0$。把同一套正合列用在旋转后的三角 $L \xrightarrow{g} M \xrightarrow{h} K[1] \xrightarrow{-f[1]} L[1]$ 上（对着靶 $K[1]$），$(h w_{1}) \circ h = 0$ 给出 $h w_{1}$ 落在 $\operatorname{im}(-f[1])^{*}$ 里：存在 $\beta : L[1] \to K[1]$ 使 $h w_{1} = -\beta \circ f[1]$；
• 于是 $w^{2} = w_{1} h w_{1} h = w_{1}(h w_{1}) h = -w_{1} \beta f[1] h$。而 $f[1] \circ h = 0$ —— 那正是旋转公理说的「三角里相邻两步复合为零」。故 $w^{2} = 0$。∎

第 1 条在说什么：三角之间的态射被前两步控制得很紧 —— 前两步一旦归零，第三步不但被逼成零平方，还被夹在两条正合列之间。这正是三角范畴公理里那条最不显然的要求的来源。

第 2 条是「五引理」在同伦范畴里的样子：前两步定住了，第三步就跟着定住。