导出函子的长正合列

短正合列   ⟹  \implies 右导出函子的长正合列

thm.derived-long-exact · 同调代数 · 导出函子 · 长正合列

又称导出函子的长正合列·Theorem 7.2.8·Thm 7.2.8

陈述

任意短正合列 0→K∙→L∙→M∙→00 \to K^{\bullet} \to L^{\bullet} \to M^{\bullet} \to 0（在 C+(A)C^{+}(\mathcal{A}) 里）给出长正合列

⋯→RnFK∙→RnFL∙→RnFM∙→ δ Rn+1FK∙→⋯\cdots \to R^{n}FK^{\bullet} \to R^{n}FL^{\bullet} \to R^{n}FM^{\bullet} \xrightarrow{\ \delta\ } R^{n+1}FK^{\bullet} \to \cdots

说明

（δ\delta 就是三角的连接同态经 HnH^{n} 取出来的那一段。）

证明。 由「短正合列给出导出三角」，在 D+(A)D^{+}(\mathcal{A}) 里有导出三角

K∙→L∙→M∙→K∙[1].K^{\bullet} \to L^{\bullet} \to M^{\bullet} \to K^{\bullet}[1].

由 K+(I)≃D+(A)\mathbf{K}^{+}(\mathcal{I}) \simeq D^{+}(\mathcal{A})，可以假设这三个复形都由内射对象组成，态射也都在 C(A)C(\mathcal{A}) 里取到（同构不改变同调）。于是把它们送到 K+(A′)K^{+}(\mathcal{A}') 里仍然是一条三角（FF 加法，映射锥三角逐项送过去还是映射锥三角）。 而 Hn:K(A′)→A′H^{n} : \mathbf{K}(\mathcal{A}') \to \mathcal{A}' 是共调函子：三角取同调就是长正合列。在内射复形上 RnF=HnFR^{n}F = H^{n}F，于是得到

⋯→HnFK∙→HnFL∙→HnFM∙→Hn+1FK∙→⋯ ,\cdots \to H^{n}FK^{\bullet} \to H^{n}FL^{\bullet} \to H^{n}FM^{\bullet} \to H^{n+1}FK^{\bullet} \to \cdots ,

正是要的那条。∎

⭐ 这就是「求导」的全部收益：原来 FF 只给半条，RFRF 把连接同态 δ\delta 补上，长正合列就活了。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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