同伦等价的判据

说明

证明。 两条都是把定义展开（$\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 的对象是复形、态射是同伦类）。 1. 若 $f$ 在 $\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 中同构，取它的逆 $g$（一个复形态射），则 $gf$ 与 $1_{K}$ 在同伦范畴里相等，即 $gf \sim 1_{K}$ ✓；$fg \sim 1_{L}$ 同理。反之，若存在这样的 $g$，则 $[f]$ 与 $[g]$ 在 $\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 中互为逆 ✓。 2. 「同伦平凡」的定义就是「与零对象同构」；而 $\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 中的零对象是零复形，$K \to 0 \to K$ 的复合是 $0_{K}$。故存在同构 $\iff$ $1_{K} \sim 0_{K}$ ✓。∎

⚠️ 注意「同伦等价」不是「逐项同构」：$1 \sim 0$ 意味着 $K^{\bullet}$ 的两个相邻层之间有一族映射 $s^{n}$ 把恒等收缩掉，这样的复形（例如 $0 \to M \xrightarrow{1} M \to 0$）每一层都非零，但整体同伦平凡。