导出范畴derived category

导出范畴 $D(\mathcal{A})$

定义
依赖深度 layer 15
同调代数
复形与导出三角

def.derived-category · 同调代数 · 导出范畴 · 局部化 · 拟同构

又称导出范畴·derived category·D(A)·Definition 7.2.2·Def 7.2.2

陈述

阿贝尔范畴 $\mathcal{A}$ 的导出范畴 $D(\mathcal{A})$ 是同伦范畴 $K(\mathcal{A})$ 关于拟同构的局部化。

于是 $D(\mathcal{A})$ 的对象与 $K(\mathcal{A})$ （等价地 $C(\mathcal{A})$ ）相同，而 $K^{\bullet} \to L^{\bullet}$ 的一个态射是一个「屋顶」：

K^{\bullet} \xleftarrow{\ \sim\ } K'^{\bullet} \longrightarrow L^{\bullet},

左边的箭头是拟同构（已变成同构）。

说明

⭐ 为什么要在 $K(\mathcal{A})$ 里再商一次： $K(\mathcal{A})$ 里同伦的态射被identify了，但拟同构还不是同构 —— 而求导函子、 $\operatorname{Ext}$ 、谱序列这些机器真正想要的，是「拟同构 = 同构」的那个范畴。 $D(\mathcal{A})$ 就是为此造的。

「屋顶」是什么：局部化一般不能只靠「右走一步」，因为拟同构不总能通分；于是态射写成「先逆一个拟同构、再走一步」。这也正是 $D(\mathcal{A})$ 的 Hom 可能不再是集合的原因 —— 只有当 $\mathcal{A}$ 有足够多内射（或投射）时才控制得住。

📌 上有界、下有界、有界版本记 $D^{+}$ 、 $D^{-}$ 、 $D^{b}$ ；内射复形的版本记 $K^{+}(\mathcal{I})$ 等。

它指向谁（出边）

定义引用 3

Hom 在同伦范畴与导出范畴里一样用到本页定义引用

结论说两边相等。
内射复形就是导出范畴用到本页定义引用

结论是 $K^{+}(\mathcal{I}) \simeq D^{+}(\mathcal{A})$ 。
扩展群 Ext 用到本页定义引用

$\operatorname{Ext}^{n}$ 定义成导出范畴里的 Hom。

谁指向它（入边）

定义引用 3

局部化 → 本页定义引用

导出范畴是 $K(\mathcal{A})$ 关于拟同构的局部化。
拟同构 → 本页定义引用

局部化掉的是拟同构。
同伦范畴 → 本页定义引用

被局部化的对象是同伦范畴。

参考

Le Stum, Definition 7.2.2

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