局部化

范畴的局部化（Localization）

定义
依赖深度 layer 10
范畴论
范畴与图

def.localization · 范畴论 · 局部化 · 分式 · 同伦范畴

又称局部化·localization·ho(C)·形式逆·Proposition 1.4.12·Prop 1.4.12·Definition 1.4.11·Def 1.4.11

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是范畴， $W$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族态射（想「当成同构」的那些）。 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化 $\mathrm{ho}(\mathcal{C})$ 是这样一个范畴，连同函子 $\gamma : \mathcal{C} \to \mathrm{ho}(\mathcal{C})$ ：

对每个 $w \in W$ ， $\gamma(w)$ 是同构；
泛性质：对任何函子 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 使每个 $w \in W$ 的像都是同构，存在唯一的 $\overline{F} : \mathrm{ho}(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ 使 $\overline{F} \circ \gamma = F$ 。

说明

怎么把态射造出来。 局部化里的态射是 $W$ 中态射的形式逆与 $\mathcal{C}$ 中原有态射拼成的有限长链（这叫分式，因为长得像 $c \cdot w^{-1} \cdot d$ ）。两个这样的链只要能用原范畴里的交换图连通，就视作同一个态射。

⭐ 两个标准例子（都在同调代数那一支）：把链同伦 $\simeq$ 全体当成同构，得到同伦范畴 $\mathbf{K}(\mathcal{C})$ ；再把拟同构全体当成同构，得到导出范畴 $D(\mathcal{A})$ 。所以这一条是那一整条线的地基层。

⚠️ 局部化一定存在，但可能很贵：一般情形下 $\mathrm{ho}(\mathcal{C})$ 的态射不再是集合（每两个对象之间的分式链可能真类多），Hom 也可能爆掉。下面那条命题说的就是「什么时候它老老实实是个局部小范畴」。

它指向谁（出边）

定义引用 5

允许右分式演算时局部化函子正合用到本页定义引用

正合说的是局部化函子。
分式演算下的局部化用到本页定义引用

命题给出局部化的一个具体算法。
环的局部化 W⁻¹R 用到本页定义引用

它就是范畴局部化在单对象范畴上的特例。
局部化的 Hom 是滤过余极限用到本页定义引用

命题算的是局部化范畴里的 $\operatorname{Hom}$ 。
导出范畴用到本页定义引用

导出范畴是 $K(\mathcal{A})$ 关于拟同构的局部化。

谁指向它（入边）

定义引用 3

函子 → 本页定义引用

局部化是一条泛性质：对函子 $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 说话。
截面与收缩 → 本页定义引用

要求 $W$ 里的态射在局部化里变成同构（有截面也有收缩）。
自然变换 → 本页定义引用

泛性质里的唯一性说的是函子之间的等式，即自然变换的层面。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.1

常见问法 3 条

什么是局部化也看分式演算下的局部化、同伦范畴
什么是分式演算也看分式演算下的局部化
环的局部化是什么也看环的局部化 W⁻¹R、分式演算下的局部化

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