自然变换

输入是一个自然变换 $\alpha : F \implies G$，输出是极限之间的唯一态射。

引理数的是 $h^{X}$ 到 $F$ 的自然变换全体。

全忠实说的是自然变换集 $\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal{C}}}(h_{X}, h_{Y})$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ 的双射。

等价要求两个复合自然同构于恒等函子，这个「$\cong$」只有靠自然变换才说得出来。

锥就是常图到 $D$ 的自然变换 $\Delta X \implies D$，相容性条件正是自然性方块。

$\widehat{\mathcal{C}}$ 的态射就是预层之间的自然变换。

第二种定义写的是 $F \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)$，这个 $\cong$ 是自然同构。

单位与余单位本身都是自然变换，三角等式也是自然性方块拼出来的。

$\alpha : F \implies p_{!}F \circ p$ 与 $\gamma$ 都是自然变换。

取值在一般范畴的预层就是反变函子，预层态射就是自然变换。

泛性质里的唯一性说的是函子之间的等式，即自然变换的层面。

自然变换是两个函子之间的东西，先得有两个函子。

自然变换的每个分量 $\alpha_X : F(X) \to G(X)$ 是范畴里的态射，自然性的方块也是在范畴里交换的。