保积与核 ⟹ 保所有有限极限

保积 + 保核 $\implies$ 保所有有限极限

prop.preserves-products-kernels · 范畴论 · 保极限 · 积 · 核 · 左正合

又称保积与核·Exercise 1.43

陈述

函子 $F$ 若保所有有限积与所有核（等化子），则 $F$ 保所有有限极限（即 $F$ 左正合）。

证明。 记 $F : \mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 保有限积与核（等化子）。

P \;\underset{\;q\;}{\overset{\;p\;}{\rightrightarrows}}\; \prod_{u : i\to j}D(j), \qquad p := \bigl(\pi_{j}\bigr)_{u},\quad q := \bigl(D(u)\circ\pi_{i}\bigr)_{u},

即「第 $u$ 个坐标分别取 $D(u)$ 之后的投影与直接投影」。则

\lim D \;\cong\; \operatorname{eq}(p, q),

（元素层面： $\operatorname{eq}(p,q)$ 恰是一族相容的 $D(i)$ 元素，即 $D$ 的锥；泛性由积的泛性给出）✓。

$F$ 保两步： $F(P) \cong \prod_{i}FD(i)$ （保有限积）✓； $F(\operatorname{eq}(p,q)) \cong \operatorname{eq}(Fp, Fq)$ （保核）✓。
合起来：把上面的构造用于 $FD$ 得到的等化子正是 $\operatorname{eq}(Fp,Fq) \cong F(\operatorname{eq}(p,q))$ ，而它又是 $\lim FD$ ✓。故 $F$ 保一切有限极限，即左正合 ✓。∎

⚠️ 只保「积」不够：还要保核（等化子），否则上面第二条会断。