保极限的函子preserves limits

函子保极限（Preservation of Limits）

def.preserves-limit · 范畴论 · 保极限 · 保余极限 · 函子

又称保极限·preserves limits·保余极限·连续函子·Definition 1.4.4·Def 1.4.4

陈述

设 D:I→CD : I \to \mathcal{C} 是图、F:C→DF : \mathcal{C} \to \mathcal{D} 是函子。FF 诱导出锥之间的比较映射

F(lim⁡D)⟶lim⁡(F∘D).F(\lim D) \longrightarrow \lim (F \circ D).

若这个比较映射对每个（相应型别的）图 DD 都是同构，就说 FF 保极限（记 lim⁡D≅lim⁡F∘D\lim D \cong \lim F \circ D）。对偶地：保余极限。

说明

比较映射是怎么来的：lim⁡D\lim D 是 DD 的泛锥，FF 作用之后给出 F∘DF \circ D 的一个锥，于是由 lim⁡(F∘D)\lim(F\circ D) 的泛性质唯一地得到 F(lim⁡D)→lim⁡(F∘D)F(\lim D) \to \lim(F\circ D)。所以「保极限」永远是这个由泛性质自动存在的映射恰好可逆。

⭐ 最常用的一条：右伴随保所有极限（对偶地左伴随保所有余极限）。证明只用伴随同构与极限的泛性质，不需要任何具体构造。

弱一点的说法：FF 保有限极限（= left exact）、保滤过余极限（AB5 那一条）、保积、保等化子……都是把上面的「每个图」限制到某一类图。

⚠️ 与「FF 连续」区分：这里说的连续函子（continuous functor）是保极限，与拓扑里的连续无关。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

同一星团的其他概念 13 个

继续

在星图里打开「保极限的函子」　·　 全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 English entry　·　读图指南与记号表