取值一般的预层与层

取值在一般范畴里的层（Sheaf with Values in a Category）

def.presheaf-valued · 同调代数 · 层 · 阿贝尔层

又称取值在范畴里的层·sheaf with values·presheaf with values·一般值的层

陈述

设 C\mathcal{C}、D\mathcal{D} 是范畴。

  1. 取值在 D\mathcal{D} 的预层是反变函子 T:Cop→DT : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}；预层之间的态射是自然变换。
  2. C\mathcal{C} 是 site 时，层 F:Cop→DF : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D} 是这样的预层：对每个 Y∈DY \in \mathcal{D}，集合值预层
X⟼Hom⁡D(Y, F(X))X \longmapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(Y,\ F(X)\bigr)

都是层。

说明

把 D\mathcal{D} 取成 Set\mathbf{Set} 就回到原来的层；取成 Ab\mathbf{Ab} 就得到阿贝尔层。

定义里的技巧是：用「射入 YY 的映射」把 D\mathcal{D} 里的层条件降回集合层。于是集合层的每一条结论，只要它的表述里那些构造在 D\mathcal{D} 里也有（极限、积……），就能逐条搬过来 —— 这是「层可以取一般值」的全部秘密。

它指向谁（出边）

定义引用 1

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

常见问法 1 条

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