阿贝尔层的张量积

说明

怎么算。 $M \otimes_{\mathbb{Z}} N$ 是预层 $X \mapsto M(X) \otimes_{\mathbb{Z}} N(X)$ 的层化：先逐点张量，再层化。（证明只要考虑 $\mathcal{T} = \widehat{\mathcal{C}}$ 的情形，再用层化；最后归结到通常阿贝尔群的同名结论。）

基本性质。 交换（$M \otimes_{\mathbb{Z}} N \cong N \otimes_{\mathbb{Z}} M$）、结合、单位 $M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\cdot\mathbf{1} \cong M$；以及

记 $M \cdot X := M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\cdot X$，则 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)(X) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M \cdot X,\ N)$ —— 「在某点处取值」= 「先在点处张量、再取 Hom」。

⭐ 凝聚态阿贝尔群 $\mathrm{CondAb}$ 就是这里的特例（$\mathcal{T} = \mathrm{Cond}$）：上面每一条原样照搬，不必单独写一遍。特别地 $\mathrm{CondAb}$ 是封闭对称幺半范畴，因而富集在自己上面，可以谈张量积、对偶与交换代数。

⚠️ 但要注意 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N)$ 自然是一个紧生成拓扑空间，却不是拓扑阿贝尔群 —— 因为紧生成空间对（拓扑空间的）积不封闭。把 $\mathrm{CondAb}$ 当成「拓扑阿贝尔群」来用会在这一步出问题。