凝聚态阿贝尔群

凝聚态阿贝尔群（Condensed Abelian Group）

定义
依赖深度 layer 17
凝聚态数学
凝聚态阿贝尔群

def.condensed-abelian-group · 凝聚态 · 阿贝尔群 · 层

又称凝聚态阿贝尔群·condensed abelian group·CondAb·Ab(Cond)·Definition 6.1.1·Proposition 6.1.2·Prop 6.1.2

陈述

凝聚态阿贝尔群就是 $\mathrm{Cond}$ 上的阿贝尔层。四种说法给出同一个范畴：

\mathrm{Ab}(\mathrm{Cond}) \;\simeq\; \mathrm{Cond}(\mathrm{Ab}) \;\simeq\; \widehat{\mathbf{CHaus}}(\mathrm{Ab}) \;\simeq\; \widehat{\mathbf{FCHaus}}(\mathrm{Ab})

记作 $\mathrm{CondAb}$ 。

说明

一般定义见「阿贝尔层」—— 凝聚态阿贝尔群就是 $\mathcal{T} = \mathrm{Cond}$ 的那个特例。

在紧 Hausdorff 这个场地里层条件可以化简： $M$ 是凝聚态阿贝尔群 $\iff$ 它保有限积（一般拓扑斯上没有这么干净的判据）。

记号： $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, N) := \operatorname{Hom}_{\mathrm{CondAb}}(M, N)$ 。

它指向谁（出边）

定义引用 14

有限不交覆盖的 Čech 零调用到本页定义引用

系数是凝聚态阿贝尔群。
离散空间上零调用到本页定义引用

命题讨论的是凝聚态阿贝尔群的上同调。
R/R_disc 在 Stone 上的截面用到本页定义引用

商 $Q = \mathbb{R}/\mathbb{R}^{\mathrm{disc}}$ 在凝聚态阿贝尔群里取。
Ext 的截面公式用到本页定义引用

系数 $N$ 与 Ext 都在凝聚态阿贝尔群里。
Stonean 上 Z[S] 的 RHom 用到本页定义引用

$N$ 与 $\operatorname{RHom}$ 都在凝聚态阿贝尔群里。
离散空间上 Z[E] 的 RHom 用到本页定义引用

同上， $N$ 是凝聚态阿贝尔群。
离散群的 RHom 是常层用到本页定义引用

两个 RHom 分别算在凝聚态阿贝尔群与抽象阿贝尔群里。
离散函子保直和用到本页定义引用

标的都是凝聚态阿贝尔群。
商群在凝聚态意义下一致用到本页定义引用

命题比较拓扑商与凝聚态商。
CondAb 满足 AB6 与 AB4* 用到本页定义引用

定理说的是 $\mathrm{CondAb}$ （凝聚态阿贝尔群）满足 AB6 与 AB4*。
阿贝尔层的张量积用到本页定义引用

凝聚态阿贝尔群是这里的特例（ $\mathcal{T} = \mathrm{Cond}$ ）。
拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态用到本页定义引用

函子的靶是凝聚态阿贝尔群。
Stonean 上凝聚阿贝尔群零调用到本页定义引用

系数是任意凝聚态阿贝尔群。
Breen–Deligne 分解用到本页定义引用

分解的对象是拓扑斯里的阿贝尔群（ $\mathrm{CondAb}$ 是一例）。

谁指向它（入边）

定义引用 3

凝聚态集 → 本页定义引用

凝聚态阿贝尔群是在凝聚态集上再加阿贝尔群结构。
层 → 本页定义引用

它是阿贝尔群值层。
阿贝尔层 → 本页定义引用

凝聚态阿贝尔群是 $\mathcal{T} = \mathrm{Cond}$ 的阿贝尔层。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §6.1

常见问法 5 条

凝聚态阿贝尔群是什么也看阿贝尔层、截面函子保极限余极限
凝聚态数学是干什么的也看凝聚态集、Cond 是拓扑斯
为什么凝聚态阿贝尔群可以做代数也看阿贝尔层的张量积、CondAb 满足 AB6 与 AB4*
拓扑阿贝尔群怎么进凝聚态也看拓扑阿贝尔群嵌入凝聚态、拓扑阿贝尔群
什么是 Breen-Deligne 分解也看 Breen–Deligne 分解、Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列

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