Stonean 上凝聚阿贝尔群零调Stonean acyclic

说明

一句话：Stonean 空间对凝聚态上同调是不可见的 —— 只要系数是凝聚态阿贝尔群，高次上同调一律消失。

为什么。截面函子 $\Gamma(S, -) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[S], -)$ 在 Stonean 空间上是正合的：Stonean 的极不连通性让 $\mathbb{Z}[S]$ 是投射的，于是 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[S], -)$ 保满射，而右导出函子在 $n>0$ 上正好量度「保不保满射」。

⭐ 这是整章的起点：后面每一步「零调」都是把一般空间归约到 Stonean（先 Stone 化，再用 Čech 复杂度量偏差），而 Stonean 这一格已经归零。

⚠️ 注意这条对任意凝聚态阿贝尔群 $M$ 成立，不要求 $M$ 来自拓扑群。

证明。 截面函子是 $\Gamma(S, -) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S], -)$。

• $\mathbb{Z}[S]$ 在 $S$ Stonean 时是投射对象：极不连通性给出 $S$ 的闭开集格上的投影性（$S = \beta I$ 时 $\mathbb{Z}[S] = \mathbb{Z}[\beta I]$ 是自由的，而自由对象投射）；
• 于是 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S], -)$ 把满射送到满射 —— 即正合；
• 右导出函子 $R^{n}\Gamma(S,-)$ 量的正是「这个函子在第 $n$ 步有多大程度不正合」，函子本身正合故全为 $0$（$n>0$）。∎