Stonean 上 Ext 的截面公式

说明

在做什么。 左边是「Ext 层在 $S$ 上的截面」，右边是「把一个普通 Ext 算出来」。这条把层的 Ext 换成了单次的 Ext —— 于是「算 Ext 层」这件事变成「算一个具体的导出 Hom」。

为什么 Stonean 可以。 Stonean 空间 $S$ 上，$\mathbb{Z}[S]$ 是投射的，于是 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S], -)$ 正合。把这个正合函子搬到自然同构

两边，就得到了结论：右边是「内 Hom 的截面」，左边是「先张量再 Hom」。

⚠️ 关键前提是 Stonean（极不连通），不是一般的紧 Hausdorff —— 极不连通性正是 $\mathbb{Z}[S]$ 投射的来源。

⭐ 这条是下面谱序列的接线口：Breen–Deligne 分解把 Ext 展开成若干「自由对象」，而每一项的 Ext 恰好可以用这条把层的计算搬回普通计算。

证明。 $S$ Stonean $\implies$ $\mathbb{Z}[S]$ 是投射对象，于是 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S], -)$ 正合。 对自然同构

（这是 $M \cdot S = M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[S]$ 的伴随形式）两边取右导出：左端给出 $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M\cdot S, N)$；右端因为 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[S],-)$ 正合，可以直接穿过导出函子，得 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}[S], \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M,N)\bigr)$，而后者按定义就是 $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。两边一比即得。∎