离散对偶的 RHom 与导出张量

说明

在说什么。 把「先取对偶、再对靶算 RHom」这个往返回溯成一个导出张量积，并且降了一次数（$[-1]$）。于是「算对偶的 Ext」被换成了「算张量积」—— 后者在离散群上可以用自由消解直接做。

证法。用短正合列 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to T \to 0$。由前面两条归零定理得 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R}, N) = 0$，于是 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(T, N) \cong N[-1]$。代入 $\operatorname{RHom}(M, T)$ 并逐层展开，再用自由情形的导出张量计算，就得到结论。

⭐ 这条把 $T$ 这个「圆」的角色讲清楚了：$T$ 在导出层面等价于降一次数（$\operatorname{RHom}(-, T)$ 把离散群送到它自己的 $[-1]$）。这正是下一节 Pontryagin 对偶能用 RHom 写出来的原因。

证明（先造映射，再在自由情形验它是同构）。

• 造映射：串联三个同构

其中第一式来自「离散群的 $\operatorname{RHom}(\mathbb{Z}, N) = N$」，第二式来自短正合列 $0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{R}\to T\to 0$（配合 $\operatorname{RHom}(\mathbb{R}, N) = 0$，于是 $\operatorname{RHom}(T,N)\cong\operatorname{RHom}(\mathbb{Z},N)[-1] = N[-1]$），第三式是「张量与内 Hom 的伴随」。

• 验同构：只需对 $M = \mathbb{Z}\cdot E$（自由）验证。此时由「离散情形的 $\operatorname{RHom}(\mathbb{Z}\cdot E, N) = N^{E}$」得 $\operatorname{RHom}(M, T) = T^{E}$，而 $M\otimes^{\mathbf{L}}N = N\cdot E$；问题化归为证 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(T^{E}, N) \cong N\cdot E[-1]$。
• $E$ 有限时：由三角 $\operatorname{RHom}(\mathbb{Z},N)\to\operatorname{RHom}(\mathbb{R},N)\to\operatorname{RHom}(T,N)\to$ 与 $\operatorname{RHom}(\mathbb{R},N)=0$ 得 $\operatorname{RHom}(T,N)\cong N[-1]$，取 $E$ 次幂即可。
• $E$ 一般时：写成有限子集的滤过余极限 $E = \varinjlim E'$，用 Breen–Deligne 谱序列 + 滤过余极限正合把结论传上去，而这一步只需 $H^{q}\bigl((T^{s})^{E}\times S, N\bigr) = \varinjlim_{E'} H^{q}\bigl((T^{s})^{E'}\times S, N\bigr)$ —— 由 Dyckhoff 与「紧 Hausdorff 的滤过极限上常系数上同调是余极限」给出。∎