Cond/X 到开集拓扑斯的态射

说明

在做什么。 $\mathrm{Cond}/X$ 是「把 $X$ 当成基点、在上面做凝聚态数学」的世界；$\mathrm{Open}(X)$ 是「$X$ 的开集格」这个世界。这条态射把两边接起来：两个世界算出来的上同调可以互相换算。

逆像的形状怎么读：$\operatorname{Hom}_{/X}(\underline{U}, Y)$ 是「越过 $X$ 的、从 $U$ 到 $Y$ 的映射」。$U$ 越小能给的映射越多 —— 这正是层的「限制」味道。

顺像的形状怎么读：$\varinjlim \underline{U}$ 是「把所有开集拼起来」的余极限 —— 开集沿含入的余极限就是它们并起来。

⭐ 这条是下面 Dyckhoff 定理那条谱序列的构造基础：有了这两个方向，$\mathrm{Cond}/X$ 上的上同调才能被 $\mathrm{Open}(X)$ 上的层上同调逼近。

证明。 先看两个函子都有定义：逆像把 $Y \in \mathrm{Cond}/X$ 送到预层 $U \mapsto \operatorname{Hom}_{/X}(\underline{U}, Y)$，而 $\mathrm{Open}(X)$ 上的层条件只涉及开集的含入，逐条验即可；顺像 $\varinjlim_{U \subseteq X,\ s \in F(U)} \underline{U}$ 取的是滤过余极限（开集沿含入滤过），在 $\mathrm{Cond}$ 里存在。 逆像左正合：$\varinjlim$ 在 $\mathrm{Cond}$ 里正合（AB5）。 伴随：逐项算

第一式是余极限的泛性质，第二式就是把「从 $F$ 到 $Y$ 的映射」按 $F$ 的定义写成相容族 $\{F(U) \to \operatorname{Hom}_{/X}(\underline{U}, Y)\}$ —— 两者是同一件事。于是有伴随 $\varinjlim \underline{U} \dashv \bigl(U \mapsto \operatorname{Hom}_{/X}(\underline{U}, -)\bigr)$，逆像左正合，故 $c_{X}$ 是拓扑斯态射。∎