K-有界正合K-bounded exact

$K$ -有界正合与 $K$ -有界零调

定义
依赖深度 layer 11
凝聚态数学
同调代数
凝聚态上同调

def.k-bounded-exact · 凝聚态数学 · Banach · 正合列 · 定量

又称K-有界正合·K-bounded exact·K-有界零调·Definition 8.2.1

陈述

设 $M^{\bullet}$ 是半范数阿贝尔群的复形， $K \in \mathbb{R}$ 。称 $M^{\bullet}$ 在 $M^{n}$ 处 $K$ -有界正合，如果

\forall s \in M^{n},\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists s' \in M^{n+1} :\quad \|s - d^{n+1}s'\| \le K\,\|d^{n}s\| + \varepsilon.

若 $M^{\bullet}$ 在每个 $M^{n}$ 处都 $K$ -有界正合，则称它 $K$ -有界零调。

说明

和普通正合差在哪。 普通正合只说「每个闭链都是上一边的边界」（存在性）。 $K$ -有界正合不但要求存在原像 $s'$ ，还要求这个原像可以被控制住：误差不超过 $K\|ds\|$ ，再多给一个任意的 $\varepsilon$ 。

为什么非要这么强。 在 Banach / 半范数语境里，「闭链是不是边界」这种纯存在性问题不够用 —— 因为取极限的时候，误差会累积。 $K$ -有界正合给出的是可数控制，让后续构造（几何级数式的 Cauchy 列）能收敛。

$\varepsilon$ 项是干嘛的：所有范数比较都会留一点余量，好让「 $\le$ 」在取极限后仍然成立。实践上 $\varepsilon$ 可以随便小。

⭐ 这条是本节所有定理的公共语言：把「正合」这个定性条件换成带常数 $K$ 的定量条件，再证明「定量 $\implies$ 定性」。

它指向谁（出边）

定义引用 4

K-有界正合沿滤过余极限保持用到本页定义引用

命题要证的就是「 $K$ -有界正合」在滤过余极限下保持。
K-有界正合在完备化下不变用到本页定义引用

两边谈的都是 $K$ -有界正合。
相邻两条 K-有界推出正合用到本页定义引用

前提是相邻两处都 $K$ -有界正合。
K-有界零调推出零调用到本页定义引用

前提是 $K$ -有界零调。

谁指向它（入边）

定义引用 2

半范数阿贝尔群 → 本页定义引用

$K$ -有界正合定义在半范数阿贝尔群的复形上。
上链复形 → 本页定义引用

说的是一条复形在某一项处的性质。

参考

Le Stum, Definition 8.2.1

常见问法 2 条

什么是 K-有界正合也看相邻两条 K-有界推出正合、K-有界零调推出零调
K-有界正合为什么能推出正合也看相邻两条 K-有界推出正合、K-有界零调推出零调

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