分解上乘 p 与 M 上乘 p 同伦scalar homotopy

说明

为什么需要这条。 分解 $F(M)^{\bullet} \twoheadrightarrow M$ 是拟同构、不是同构 —— 所以「$M$ 上的运算」搬到分解上会有歧义。这条给出消解歧义的机制：不管你怎么把乘 $p$ 抬上去，抬出来的结果都同伦，于是「乘 $p$」在导出层面是良定义的。

用在哪：$\operatorname{RHom}(M, N)$ 的计算里要处理「除以 $2$」这类操作（把闭链写成收敛的级数），而收敛用的是 $2 - [2]$ 这个操作的可逆性。同伦的良定义正是这一步合法的前提。

证明（两步归约）。

• 第一步：投射消解的情形。 设 $F(M)^{\bullet}$ 是一个投射消解。在导出范畴里「乘 $p$」与 $[p]$ 是同一个态射（两者都诱导 $M$ 上乘 $p$），于是由「投射复形里 Hom 就是导出 Hom」的对偶版本，$[p]$ 与逐项乘 $p$ 在复形层面同伦。
• 第二步：Breen–Deligne 分解是「自然投射消解」。 在拓扑斯 $\mathcal{T} = \widehat{\mathbf{Ab}^{\mathrm{op}}}$ 上取 $M := h_{\mathbb{Z}}$。对预层 $N$，

而预层上的极限、余极限逐项计算 —— 于是 $\mathbb{Z}\cdot M^{s}$ 是 $\mathcal{T}$ 里的投射对象，第一步适用。

• 把 $M$ 取成 $h_{\mathbb{Z}}(M)$ 再层化，就得到任意拓扑斯上的情形。∎