连续函数空间的范数

说明

证明。 1. $\sup$ 有限：连续函数在紧空间上有界（$f(S)$ 紧，而范数球的半径有限）✓；三条半范数公理由 $M$ 的半范数逐点验证、再取上确界 ✓；$\|f\| = 0 \implies f = 0$ 当且仅当 $M$ 是 Hausdorff 的（即范数而非半范数）✓。 完备性：设 $(f_{j})$ 是 $\|\cdot\|$ 下的 Cauchy 列，则每个 $x$ 处 $(f_{j}(x))$ 是 Cauchy 列，由 $M$ 完备有极限 $f(x)$ ✓；Cauchy 列是一致Cauchy 的（$\|f_{j}-f_{k}\| < \varepsilon$ 对每个 $x$ 成立），故 $f_{j} \to f$ 一致，一致极限保持连续性 ✓，于是 $M$ 完备时 $C(S,M)$ 完备 ✓。 2. 给 $f \in C(S, M)$ 与 $\varepsilon > 0$。开覆盖

由 $S$ 是 Stone 空间，它有有限的、两两不交的闭开加细 $S = \bigsqcup_{r} S_{r}$（Stone 空间上任何开覆盖都有这样的加细）✓。在每个 $S_{r}$ 上任取 $m_{r}$ 使 $S_{r} \subseteq f^{-1}(B(m_{r},\varepsilon/2))$ ✓，令 $g := m_{r}$ 在 $S_{r}$ 上。则 $g$ 局部常值，即映入离散群 $M^{\mathrm{disc}}$ 的连续函数 ✓，且逐点 $\|f - g\| \le \varepsilon/2$ ✓，故 $\|f-g\| \le \varepsilon/2 < \varepsilon$ ✓。于是 $C(S,M^{\mathrm{disc}})$ 稠密 ✓。∎

⭐ 第 2 条是「离散值函数足够多」的精确版本：Stone 空间上任何连续 $M$-值函数都可以用局部常值函数一致逼近。它在 Banach 系数零调（8.2.6 / 8.2.8）的证明里是关键一步。