离散群的 RHom 是常层

说明

证明。 取 $M$ 作为抽象阿贝尔群的一个自由消解 $P_{\bullet} \to M$ ✓。

• 常层函子在这条消解上保持正合：$\mathrm{c}(-)$ 把自由阿贝尔群送到自由凝聚态阿贝尔群 $\mathbb{Z}[E]$，而且它在离散群上正合，于是 $\mathrm{c}(P_{\bullet}) \to \mathrm{c}(M)$ 仍是一个消解 ✓。
• 每一项都零调：$P_{i} = \mathbb{Z}^{(E)}$ 给出 $\mathrm{c}(P_{i}) = \mathbb{Z}[E]$，而 $\operatorname{RHom}(\mathbb{Z}[E], N) \cong N^{E}$ 集中在 $0$ 次（上一条），故这些项对 $\operatorname{RHom}(-, N)$ 零调 ✓。
• 算出来：可以用 $\mathrm{c}(P_{\bullet})$ 计算内部的 $\operatorname{RHom}$：

取上同调即得 $\mathrm{c}\bigl(\operatorname{Ext}^{\bullet}(M,N)\bigr) = \mathrm{c}\bigl(\operatorname{RHom}^{\mathrm{abs}}(M,N)\bigr)$ ✓。 张量侧同理：自由阿贝尔群平坦，常层函子正合，于是 $\mathrm{c}(P_{\bullet})\otimes^{\mathbf{L}} N \cong \mathrm{c}(P_{\bullet}\otimes^{\mathbf{L}} N)$，两边取同调得第二个同构 ✓。∎

⭐ 一句话：离散群「感觉不到」凝聚态那一层结构 —— 在它们身上，凝聚态同调代数与抽象同调代数给出同一个答案（只差一个常层）。所以要真正用到凝聚态结构，就必须拿 $\mathbb{R}$、$\mathbb{Z}[S]$ 这类非离散对象来测。