Stone 上常系数零调Stone acyclic constant

说明

与 Stonean 那条的区别。Stonean 要求极不连通（开集的闭包还开），Stone 只要求全不连通（没有非平凡连通分支）。全不连通比极不连通弱，所以这条不能直接由上面那条得到，得另证 —— 但结论形状一样：零调。

证法。把 $S$ 与它的一个 Stone 满射 $S_{0} \twoheadrightarrow S$ 都写成有限离散空间的滤过逆极限（Stone 空间按定义就是投射有限空间的逆极限）。增广 Čech 复形逐段零调（有限离散情形是好算的），而滤过逆极限沿着正合列取极限仍然正合，于是整体零调。

为什么值得单列：常系数是最常用的系数，这条让「Stone 空间上的常系数上同调」这一整类计算直接归零。

证明（先有限、再取逆极限）。 由「无环 $\iff$ Čech 上同调为零」，只需对 Stone 空间之间的满射 $f : S_{0} \twoheadrightarrow S$ 证明增广 Čech 复形 $\check{C}^{\bullet}\bigl((S_{0}\to S)^{+}, M\bigr)$ 零调（有限不交覆盖那情形由「有限不交覆盖的高次 Čech 为零」给出）。

• $S, S_{0}$ 有限的情形：此时它们是有限离散集，$f$ 是有限满射，增广 Čech 复形是零伦的（有截面的态射那条），故零调。
• 一般情形：Stone 空间是投射有限空间的滤过逆极限，写 $S_{0} = \varprojlim_{k} S_{0,k}$（$S_{0,k}$ 有限），记 $S_{k}$ 为 $S_{0,k}$ 在 $S$ 里的像。$M$ 离散，于是交叠上的连续函数就是逐块给定的，而逆极限的取值是滤过余极限：

• 滤过余极限正合（AB5），所以「每一项都零调」沿这个余极限传下去：整体零调。∎