离散空间上零调

命题：凝聚态阿贝尔群在离散空间与「离散 $\times$ Stonean」上零调

命题
依赖深度 layer 18
凝聚态数学
凝聚态上同调

prop.condab-discrete-acyclic · 命题 · 凝聚态 · 零调 · 离散空间

又称离散空间上零调·Exercise 8.2

陈述

设 $M$ 是凝聚态阿贝尔群。则

$E$ 是离散拓扑空间时 $H^{n}_{\mathrm{cond}}(E, M) = 0$ （ $n > 0$ ）；
更一般地， $E$ 离散、 $S$ Stonean 时 $H^{n}_{\mathrm{cond}}(E \times S,\ M) = 0$ （ $n > 0$ ）。

说明

证明。 1. 离散空间是点的不交并： $E = \coprod_{e \in E}\{e\}$ 。而上同调把不交并换成积：

H^{n}\Bigl(\coprod_{i} X_{i},\ M\Bigr) \cong \prod_{i} H^{n}(X_{i},\ M) ✓

单点的情形是零： $\{e\} =$ ，它的自由对象是 $\mathbb{Z}[$ ] = \mathbb{Z} $Z [*] = Z$ （投射），故 $H^{n}(*, M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}, M) = 0$ （ $n > 0$ ）✓。于是离散空间上高次全为零 ✓。 2. $E$ 离散时 $E \times S = \coprod_{e \in E} S$ 是 $S$ 的不交并，再一次用「不交并 $\implies$ 积」：

H^{n}(E \times S,\ M) \cong \prod_{e \in E} H^{n}(S,\ M) = 0 \qquad (n > 0),

末一步用的是「Stonean 空间上凝聚态阿贝尔群零调」✓。∎

⭐ 一句话：零调性从 Stonean 传给「离散 $\times$ Stonean」。这就是 $\mathbb{N} \times S$ 、 $\mathbb{Z} \times S$ 这类混合空间上没有高次上同调的原因。

谁指向它（入边）

定义引用 2

凝聚态阿贝尔群 → 本页定义引用

命题讨论的是凝聚态阿贝尔群的上同调。
凝聚态集 → 本页定义引用

「离散空间 $E$ 」是通过把拓扑空间看作凝聚态集进来的。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §8.1

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