R/R_disc 在 Stone 上的截面

说明

证明。 凝聚态阿贝尔群里的短正合列

给出长正合列

末项为零：$S$ 是 Stone 空间，而 $\mathbb{R}^{\mathrm{disc}}$ 对应的凝聚态阿贝尔群就是常凝聚态群 $\underline{\mathbb{R}}$，由「Stone 空间上常系数零调」得 $H^{1} = 0$ ✓。再看前两项：$\Gamma(S, \mathbb{R}) = \operatorname{Hom}_{\mathrm{Cond}}(S, \mathbb{R}) = C(S, \mathbb{R})$ ✓；$\Gamma(S, \mathbb{R}^{\mathrm{disc}}) = C(S, \mathbb{R}^{\mathrm{disc}})$ —— 映入离散空间 $\mathbb{R}^{\mathrm{disc}}$ 的连续映射正是局部常值映射 ✓（$\mathbb{R}^{\mathrm{disc}}$ 的每个单点集都是开的，所以连续函数在每个点上局部常值）。于是 $\Gamma(S, Q) = C(S,\mathbb{R})/C(S,\mathbb{R}^{\mathrm{disc}})$ ✓。∎

⚠️ 这个商不是零：只要 $S$ 上有非常值的连续实值函数（例如 $S = \beta I$ 时取一个非局部常值的有界函数），$Q(S) \ne 0$。这与「拓扑阿贝尔群不是阿贝尔范畴」是同一件事的两面：在拓扑群层面商不好使，在凝聚态层面才有上面这条正确的截面公式。

⭐ 它也是「$\mathbb{Z}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{Z}^{\mathrm{coarse}}$ 型现象」的一般样子：改拓扑不改底集，却真的改变了层的截面。