紧 S 对实 Banach 的 RHom

$\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z} \cdot S,\ N) \cong C(S, N)$

ex.chaus-banach-rhom · 凝聚态数学 · RHom · 紧 Hausdorff · 函数空间 · Ex 8.12

又称紧 S 对 Banach 的 RHom·Exercise 8.12

陈述

设 $S$ 是紧 Hausdorff 空间、 $N$ 是实 Banach 空间。则 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z} \cdot S,\ N) \cong C(S, N)$ ，集中在 0 次。

直觉： $\mathbb{Z} \cdot S$ 是 $S$ 生成的自由阿贝尔群；从它到 $N$ 的群同态就是「给 $S$ 的每个点指定一个 $N$ 的元素」。要做成连续的话，正好得到连续函数空间 $C(S, N)$ 。

为什么只有 0 次： $\mathbb{Z} \cdot S$ 在 $S$ 紧 Hausdorff 时是投射的，投射对象上没有高阶 Ext。

⭐ 这条是「实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调」那一步的局部计算：谱序列的每一格都是这种形状。