Pontryagin 对偶的 RHom 刻画

说明

在说什么。 经典的 Pontryagin 对偶 $M^{\vee} = \operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(M, T)$ 说的是「取到圆里的连续同态」。这条给出它在导出层面的三种等价写法 —— 于是「取对偶」这个操作可以在导出的世界里做，进而参与 RHom / 张量的计算。

三条为什么互相相容。用 $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to T \to 0$：对紧的 $M$，$\operatorname{RHom}(M, \mathbb{R}) = 0$（紧 $o$ Banach 全零），于是 $\operatorname{RHom}(M, T) \cong \operatorname{RHom}(M, \mathbb{Z})[1]$，第二条就是这么来的。

注意三种情形的「位移」不同：紧的情形多一个 $[1]$、Banach 的情形换成靶 $\mathbb{R}$。这说明「对偶」在导出层面不是一个统一的操作 —— 具体走哪条，取决于 $M$ 属于哪一类。

📌 用法：把「算 Pontryagin 对偶」归约成「算 RHom」，而 RHom 有 Breen–Deligne 谱序列与逐类归零定理可用。

证明（由结构定理化归到三类）。 局部紧 Hausdorff 阿贝尔群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\oplus$ 连通紧 Hausdorff 阿贝尔群」扩张出来的，所以只要对三类分别验证。

• $M$ 离散：取两段自由消解 $0 \to F' \to F \to M \to 0$（$F, F'$ 自由）。由「离散自由群的 $\operatorname{RHom}$ 只有 $0$ 次」得长正合列

这既给出 $M^{\vee} \cong \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M, T)$，又顺带给出 $\operatorname{Ext}^{1}$ 的位置。

• $M$ 紧：先把上一段用在 $M^{\vee}$（对偶又紧）上，得 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M^{\vee}, T) \cong M$；再用 8.3.7（把 $M^{\vee}$ 与 $\mathbb{Z}$ 代入）与「紧 $\to$ 实 Banach 全零」得 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Z}) \cong M^{\vee}[-1]$，即 $M^{\vee} \cong \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{Z})[1]$。
• $M$ 有限维 Banach：由「有限维 Banach 到离散群全零」的三类掐掉只剩 $\mathbb{R}$ 的靶，逐条比对得 $M^{\vee} \cong \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M, \mathbb{R})$。∎