Stonean 上 Breen–Deligne 的谱序列

说明

构造。把 Breen–Deligne 分解 $F(M)^{\bullet}$ 沿 $S$ 基变换（张量 $\mathbb{Z}[S]$）。因为 $\mathbb{Z}[S]$ 平坦，$F(M)^{\bullet} \cdot S \to M \cdot S$ 仍是拟同构；再套 Stonean 上的截面公式，把 $\operatorname{Ext}(M \cdot S, N)$ 换成 $\operatorname{Ext}(M, N)(S)$。取「对分解的次数过滤」的标准谱序列，$E_{1}$ 项就是逐项自由对象的 Ext。

$E_{1}$ 项的形状怎么读：$M^{s_{p,i}}$ 是「$s_{p,i}$ 个 $M$ 的积」，$M^{s_{p,i}} \times S$ 是它配上测试空间 $S$；$H^{q}(-, N)$ 是那个空间上的凝聚态上同调。也就是：把 Ext 换算成一批空间的上同调，而空间的上同调是能靠 §8.1–8.2 的零调性定理打掉的。

⭐ 这就是计算路径：「要算 Ext，先展成谱序列，再把每一格的上同调按空间的类型（Stone / 紧 Hausdorff / 局部紧）用零调性定理归零」。§8.3 后面的每条计算定理都是这条谱序列的特例。

证明。 取 $M$ 的 Breen–Deligne 分解 $F(M)^{\bullet} \twoheadrightarrow M$，沿 Stonean 空间 $S$ 基变换（张量 $\mathbb{Z}[S]$），再对函子 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, N)$ 用「先用消解算、再用测试空间算」的标准谱序列：

• 左端：$F(M)^{p}\cdot S = \bigoplus_{i} \mathbb{Z}\cdot M^{s_{p,i}} \otimes \mathbb{Z}[S] = \bigoplus_{i} \mathbb{Z}\cdot\bigl(M^{s_{p,i}}\times S\bigr)$，于是由「凝聚态上同调 = 自由对象上的 Ext」得 $\operatorname{Ext}^{q}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}\cdot(M^{s_{p,i}}\times S), N) = H^{q}\bigl(M^{s_{p,i}}\times S,\ N\bigr)$。
• 右端：$\mathbb{Z}[S]$ 平坦，故 $F(M)^{\bullet}\cdot S \to M\cdot S$ 仍是拟同构；再由 Stonean 上的截面公式（$\operatorname{Ext}^{n}(M\cdot S, N) \cong \operatorname{Ext}^{n}(M,N)(S)$）得 $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(F(M)^{\bullet}\cdot S, N) \cong \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M,N)(S)$。

两边一合就是所要的谱序列。∎