局部紧阿贝尔群高次 Ext 消失

说明

⭐ 这是 §8.3 的终点：局部紧 Hausdorff 阿贝尔群之间的 Ext 只在 $0$ 次和 $1$ 次上可能非零，再高一律消失。凝聚态数学对局部紧阿贝尔群给出的最终结论就是这个。

证法：先归约、再逐类掐掉。由局部紧阿贝尔群的结构定理（每个这样的群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\oplus$ 连通紧 Hausdorff 群」扩张出来的），只要对三类源与三类靶交叉验证即可。$M$ 离散时用两段自由消解，$N$ 离散时用那条练习（连通局部紧群对离散群）；$N$ 是 Banach 时用「紧 $o$ Banach 全零」与「有限维 Banach 之间的 RHom 只有 0 次」。

为什么是「只剩 $\operatorname{Ext}^{0}, \operatorname{Ext}^{1}$」：$\operatorname{Ext}^{0}$ 就是 $\operatorname{Hom}$，$\operatorname{Ext}^{1}$ 分类扩张 —— 这两项是代数上本来就该有的；这条定理说的是没有更多，即凝聚态阿贝尔群的范畴在局部紧对象上「同调维数 $\le 1$」。

⚠️ 结论不适用于非局部紧的对象：像 $\mathbb{R}^{I}$（任意大的积）这类东西，$\operatorname{RHom}$ 的行为完全是另一回事。

证明（按结构定理分三类，逐类掐掉）。 局部紧 Hausdorff 阿贝尔群都是「离散群」被「有限维实 Banach 空间 $\oplus$ 连通紧 Hausdorff 阿贝尔群」扩张出来的。于是只需对三类源与三类靶交叉处理：

• $M$ 离散：有两段自由消解，长正合列把 $\operatorname{Ext}^{n}$（$n \ge 2$）全部掐掉（自由对象只在 $0$ 次有 Ext）。
• $N$ 离散：由连通局部紧群对离散群的那条（Exercises 8.18）同样只剩 $0, 1$ 两格。
• $N$ 实 Banach：由「紧 $\to$ Banach 全零」与「有限维 Banach 之间的 $\operatorname{RHom}$ 只有 $0$ 次」把高次掐掉。
• $N$ 连通紧 Hausdorff：有兩段消解 $0 \to N \to T^{E} \to T^{E'} \to 0$，故只需证 $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M, T^{E}) = \operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M, T)^{E} = 0$（$n \ne 0,1$），而这由 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(M, T) \cong M^{\vee}$（上一条 Pontryagin 对偶）集中在次数 $0$ 给出。∎