有限维 Banach 到离散群全零

说明

直觉：$\mathbb{R}$ 是可除的（$\mathbb{R}$ 中任何元素都能任意次地开方、任何 $n$ 都除得尽），而离散群里没有这种可除性。可除性对进离散群的方向会整个塌掉 —— 于是从实向量空间出发的所有高阶（连同 0 阶）Hom 都不剩。

证法。用上一条谱序列：$M^{s}$（有限维 $M$ 的幂）是可缩的（向量空间都是可缩的），而 $H^{q}(M^{s} \times S, N) \cong H^{q}(S, N)$，于是 $E^{p,q}_{1}$ 只与 $S$ 有关，谱序列的极限项与「常数分解」的情形对得上，计算下来一律归零。

⭐ 用法：任何以实向量空间为源、离散群为靶的 Ext 问题，直接判零 —— 这是后面「局部紧阿贝尔群只剩 $\operatorname{Ext}^{0}, \operatorname{Ext}^{1}$」那一步的关键零件之一。

证明。 用上一条的谱序列（$S$ 取 Stonean），要证收敛项为零，只需证每一格 $E^{p,q}_{1}$ 为零。

• $M^{s_{p,i}}$ 是有限维实向量空间的（可能大）幂，凸 $\implies$ 可缩；
• 而 $M^{s_{p,i}}\times S \to S$ 是同伦等价，$M^{s_{p,i}}\times S$ 局部紧 Hausdorff、$N$ 离散，于是由 Dyckhoff（局部紧 + 离散系数：凝聚态 = 层上同调）与「层上同调是同伦不变量」得

• 右边完全不含 $M$。于是这一族 $E_{1}$ 项与 $M$ 无关：把 $M = 0$ 代进去得到同一族 $E_{1}$ 项，而 $\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(0, N) = 0$，谱序列收敛到 $0$；由谱序列的收敛性（$E_{1}$ 项决定极限），一般 $M$ 的收敛项也为 $0$。∎

一般 $\mathbb{R}$-模的情形：$\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(V, N) = \operatorname{RHom}_{\mathbb{R}}(V, \operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R}, N)) = \operatorname{RHom}_{\mathbb{R}}(V, 0) = 0$（$\operatorname{RHom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R}, N) = 0$ 由有限维情形取余极限得到）。