K-有界正合沿滤过余极限保持

说明

证明。 等距转移映射给出两条关键事实：余极限的半范数就是代表元的半范数（所有代表元范数相同，否则沿等距映射传递会矛盾）✓；微分与转移映射交换，因此 $\|d s\| = \|d s_{k}\|$ 对任何代表元 $s_{k} \mapsto s$ 成立 ✓。 给定 $s \in M^{n}$ 与 $\varepsilon > 0$：取代表元 $s_{k} \in M^{n}_{k}$（余极限的元素都是某个有限阶段的元素）✓；在 $M^{\bullet}_{k}$ 里用 $K$-有界正合，得到 $s'_{k} \in M^{n+1}_{k}$ 使

把 $s'_{k}$ 映进余极限得 $s' \in M^{n+1}$，再由等距性与微分的交换性，左边与右边逐项搬过去：

这正是 $K$-有界正合在 $M^{n}$ 处的要求 ✓。∎

⭐ 用处：$K$-有界正合这件「带常数的解析性质」在往大的复形里并时不会丢 —— 于是可以先用有限 / 简单的复形验条件，再取余极限。

⚠️ 等距这一条不能省：若转移映射只是连续而范数会缩小，余极限上的半范数就变成「代表元范数的下确界」，上面的 $\|d s\| = \|d s_{k}\|$ 立刻失效。