Banach 阿贝尔群Banach abelian group

Banach 阿贝尔群与 Banach 化

定义
依赖深度 layer 15
凝聚态数学
分析学
凝聚态上同调

def.banach-ab-group · 凝聚态数学 · Banach · 完备化 · Hausdorff 化

又称Banach 阿贝尔群·Banach abelian group·Banach 化

陈述

Banach 阿贝尔群是半范数阿贝尔群 $M$ ，且满足

$\|s\| = 0 \implies s = 0$ （分离性，即半范数其实是范数）；
$M$ 对范数导出的度量完备。

任一半范数阿贝尔群 $M$ 都有 Banach 化：先 Hausdorff 化、再完备化，

M \longmapsto \widehat{M/M_{0}},\qquad M_{0} = \{\, s : \|s\| = 0 \,\}.

说明

在凝聚态世界里长什么样。Banach 阿贝尔群 $M$ 上，截面 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[S], M)$ 可以配一个「上确界半范数」，于是 $M$ 作为一个凝聚态阿贝尔群本身带着范数信息。§8.2 的所有定量陈述都是在这个半范数上做的。

⚠️ 这里说的是阿贝尔群带范数，不是「向量空间」。每个实 Banach 空间当然是 Banach 阿贝尔群（忘掉标量乘法），但反过来不然 —— 第 8 章的很多定理只用到群结构。

⭐ 「Hausdorff 化 + 完备化」这两步是反射：它把半范数阿贝尔群的范畴投到 Banach 阿贝尔群的子范畴上，且让 $K$ -有界正合这种定量性质不增不减地传过去。

它指向谁（出边）

定义引用 10

连续函数空间的范数用到本页定义引用

结论里出现 Banach 阿贝尔群（系数的完备性传给连续函数空间）。
K-有界正合在完备化下不变用到本页定义引用

完备化之后是 Banach 阿贝尔群。
相邻两条 K-有界推出正合用到本页定义引用

复形的每一项是 Banach 阿贝尔群（完备性用来取级数极限）。
K-有界零调推出零调用到本页定义引用

只对 Banach 复形成立。
Banach 在 Stone 上零调用到本页定义引用

系数是 Banach 阿贝尔群。
实 Banach 在紧 Hausdorff 上零调用到本页定义引用

系数是实 Banach 空间。
有限维 Banach 到离散群全零用到本页定义引用

源是有限维实 Banach 空间。
紧 Haus 到实 Banach 全零用到本页定义引用

靶是实 Banach 空间。
有限维 Banach 之间的 RHom 用到本页定义引用

源与靶都是有限维实 Banach 空间。
紧 S 对实 Banach 的 RHom 用到本页定义引用

靶 $N$ 是实 Banach 空间。

谁指向它（入边）

定义引用 2

半范数阿贝尔群 → 本页定义引用

Banach 阿贝尔群是半范数阿贝尔群加上分离性与完备性。
完备 → 本页定义引用

「Banach」的那一半就是完备。

参考

Le Stum, §8.2

常见问法 2 条

什么是 Banach 阿贝尔群也看半范数阿贝尔群、Banach 在 Stone 上零调
有限维 Banach 之间的 RHom也看有限维 Banach 之间的 RHom、有限维 Banach 到离散群全零

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