# Banach 阿贝尔群　`def.banach-ab-group`
Banach 阿贝尔群与 Banach 化
layer 15 · 定义 · 凝聚态上同调 · 凝聚态数学+分析学
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**Banach 阿贝尔群**是半范数阿贝尔群 $M$，且满足

- $\|s\| = 0 \implies s = 0$（**分离性**，即半范数其实是范数）；
- $M$ 对范数导出的度量**完备**。

任一半范数阿贝尔群 $M$ 都有 **Banach 化**：先 Hausdorff 化、再完备化，

$$M \longmapsto \widehat{M/M_{0}},\qquad M_{0} = \{\, s : \|s\| = 0 \,\}.$$

## 它能推出什么 / 谁在用它
- 被 [`prop.continuous-functions-normed`](../nodes/prop.continuous-functions-normed.md) 连续函数空间的范数 用

- …另有出边，续页见 [nodes/def.banach-ab-group.3.md](./def.banach-ab-group.3.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.banach-ab-group.2.md](./def.banach-ab-group.2.md)

refs: Le Stum, §8.2

> 说明见 `notes/def.banach-ab-group.md`

引用：`def.banach-ab-group`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)