完备

设 $X$ 完备且全有界，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中任一序列。要抽出一个收敛子列。

① 抽一个「直径越来越小」的子列。 对 $k = 1, 2, 3$ … 依次操作：由全有界，$X$ 能被有限个半径 1/k 的球盖住，于是其中一个球含有当前子列中的无穷多项（抽屉原理：有限个球盖住无穷多项，必有一个球含无穷多项）。把子列限制到这个球里。

这样得到一串子列

其中第 $k$ 个子列的项全部落在某个半径 1/k 的球内，因此它任意两项的距离 $< 2/k$。

② 对角线。 取 $y_{k} = x^\{(k)\}_{k}$（第 $k$ 个子列的第 $k$ 项）。则 $\{y_{k}\}$ 是 $\{x_{n}\}$ 的子列；且对 $k, l \ge K$，$y_{k}$ 与 $y_{l}$ 都是第 $K$ 个子列的项（下标 $\ge K$ 的项都在里面），故

于是 $\{y_{k}\}$ 是 Cauchy 列。

③ 由 $X$ 完备，$\{y_{k}\}$ 收敛。于是 $\{x_{n}\}$ 有收敛子列，$X$ 列紧。∎

设 $X$ 列紧，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。

① 由列紧，$\{x_{n}\}$ 有收敛子列 $x_\{n_{k}\} \to x \in X$。

② Cauchy 列只要有收敛子列，就整体收敛到同一个极限：给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $m, n \ge N$ 时 $d(x_{m}, x_{n}) < \varepsilon /2$；再取 $K$ 使 $k \ge K$ 时 $n_{k} \ge N$ 且 $d(x_\{n_{k}\}, x) < \varepsilon /2$。于是对 $n \ge N$，取 $k \ge K$ 使 $n_{k} \ge N$，得

故 $x_{n} \to x$。所以 $X$ 完备。∎

设 $X$ 紧，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。要证它收敛。

① 由「紧 $\implies$ 列紧」（见那条箭头），$\{x_{n}\}$ 有收敛子列 $x_\{n_{k}\} \to x \in X$。

② Cauchy 列只要有收敛子列就整体收敛到同一个极限：给定 $\varepsilon > 0$，取 $N_{1}$ 使 $m, n \ge N_{1}$ 时 $d(x_{m}, x_{n}) < \varepsilon /2$；取 $K$ 使 $n_{k} \ge N_{1}$ 且 $d(x_\{n_{k}\}, x) < \varepsilon /2$ 对 $k \ge K$ 成立。则对 $n \ge N_{1}$，取一个 $k \ge K$ 使 $n_{k} \ge N_{1}$，得

故 $x_{n} \to x \in X$。所以 $X$ 完备。∎