子集的紧性刻画

命题：X 完备时，A 紧 $\iff A$ 闭且全有界

prop.subset-compact-equiv · 命题 · 紧 · 闭 · 全有界

又称子集的紧性

陈述

设 (X, d) 是完备的距离空间， $A \subseteq X$ 。则

A\text{ 紧} \iff A\text{ 闭}\text{ 且} A\text{ 全有界}

（「 $A$ 全有界」按子空间度量 d|A 理解。）

⚠ 「 $X$ 完备」这个前提不能省。 理由是中间那一步： $A$ 作为子空间完备 $\iff A$ 在 $X$ 中闭 —— 这一步要用 $X$ 完备。少了它， $A$ 闭 $A$ 全有界推不出 $A$ 紧。

这也是 Heine–Borel 的推广： $\mathbb{R}^{n}$ 完备，而在 $\mathbb{R}^{n}$ 中 $A$ 有界 $\iff A$ 全有界，于是「有界闭集紧」正是它的特例。

证明。

$\implies$ ： $A$ 紧 $\implies$ $A$ 在 $X$ 中闭（上一条）。全有界：任给 $\varepsilon > 0$ ， $\{B(a,\varepsilon)\cap A\}_{a\in A}$ 是 $A$ （带子空间度量）的开覆盖，紧性给有限子覆盖，那有限个中心就是 $\varepsilon$ -网 ✓。
$\Longleftarrow$ ：设 $A$ 闭、全有界。先看完备性： $X$ 完备、 $A$ 闭，则 $A$ 里的 Cauchy 列在 $X$ 里收敛到某点，极限落在闭的 $A$ 里，故 $A$ 作为子空间完备 ✓。再证紧：全有界给可数稠密子集，于是 $A$ 里的任意序列可以用「逐层取 $2^{-n}$ -网 + 抽屉原理」抽出 Cauchy 子列；完备性让这个子列收敛 ✓。所以 $A$ 列紧；而在度量空间里列紧 $\iff$ 紧 ✓。∎

⚠️ 「 $X$ 完备 $\implies$ $A$ 完备」那一步正是标题里那个前提的用处（见上一条说明）。