列紧

证明逆否：若 $X$ 不全有界，则存在一个没有收敛子列的序列。

① 不全有界给了我们一个「一致」的正数。 $X$ 不全有界，意思是存在某个 $\varepsilon _{0} > 0$，使 $X$ 不能被有限个半径 $\varepsilon _{0}$ 的球盖住。

② 递归地挑点。 取 $x_{1} \in X$ 任意。已取好 $x_{1}$ …$x_{n}$ 后，有限个球 $B(x_{1}, \varepsilon _{0})$ …$B(x_{n}, \varepsilon _{0})$ 盖不住 $X$，所以可再取

于是任何两个不同的项都满足 $m \ne n \implies d(x_m, x_n) \ge \varepsilon_0$

③ 它没有收敛子列。 任何子列中任意两项距离都 $\ge \varepsilon _{0}$，所以它不是 Cauchy 列；而度量空间里收敛必 Cauchy，故它不收敛。

④ 于是 $X$ 不列紧。取逆否，得列紧 $\implies$ 全有界。∎

$>$ ⚠ ② 是「取了一个点才能决定下一个点在哪」的递归选取，用的是相依选择公理 DC（比 AC 弱，但仍是选择原理）。这是整段里唯一实质用到选择的地方。

设 $X$ 列紧，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。

① 由列紧，$\{x_{n}\}$ 有收敛子列 $x_\{n_{k}\} \to x \in X$。

② Cauchy 列只要有收敛子列，就整体收敛到同一个极限：给定 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $m, n \ge N$ 时 $d(x_{m}, x_{n}) < \varepsilon /2$；再取 $K$ 使 $k \ge K$ 时 $n_{k} \ge N$ 且 $d(x_\{n_{k}\}, x) < \varepsilon /2$。于是对 $n \ge N$，取 $k \ge K$ 使 $n_{k} \ge N$，得

故 $x_{n} \to x$。所以 $X$ 完备。∎

用反证 + 一串不断缩小的「坏球」。设 $X$ 列紧。

① $X$ 全有界 —— 用上面那条箭头「列紧 $\implies$ 全有界」。

② 造嵌套的坏球。 设 $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的开覆盖，且它没有有限子覆盖。由全有界，$X$ 能被有限个半径 1 的开球盖住；其中必有一个球不能被 $\mathcal{U}$ 的有限多个成员盖住 —— 否则把每个球各自的有限覆盖并起来，就得到 $\mathcal{U}$ 的一个有限子覆盖。称这样的球为坏球，取一个记作 $B_{1}$。

再把 $B_{1}$ 用有限个半径 1/2 的球盖住（$B_{1} \subseteq X$，全有界性对它同样管用），其中必有一个坏球 $B_{2} \subseteq B_{1}$。如此继续，得到

（每一步都只是在有限多个球里挑一个，可以规定「取编号最小的那个」，所以这里不动用选择公理。）

③ 取点，得到 Cauchy 列。 取 $x_{k} \in B_{k}$。由嵌套与半径趋于 0，对 $m \le n$ 有 $x_{m}, x_{n} \in B_{m}$ 而 $B_{m}$ 的半径 $\le 1/m$，于是

④ 由列紧它有子列收敛到某点 $x \in X$；Cauchy 列一旦有收敛子列就整体收敛，故 $x_{k} \to x$。

⑤ 收尾。 $x$ 落在某个 $U \in \mathcal{U}$ 中。$U$ 开，故存在 $r > 0$ 使 $B(x, r) \subseteq U$。取 $k$ 充分大，使 $1/k < r/2$ 且 $d(x_{k}, x) < r/2$；则对任意 $y \in B_{k}$，

即 $B_{k} \subseteq B(x, r) \subseteq U$。于是 $B_{k}$ 被 $\mathcal{U}$ 的一个成员盖住了，与「$B_{k}$ 是坏球」矛盾。

故 $\mathcal{U}$ 必有有限子覆盖，$X$ 紧。∎

设 $\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中的序列。反证：假设它没有收敛的子列。

① 点集 $\{x_{n} : n \in \mathbb{N}\}$ 是闭的。 任取 $y$ 不在这个点集中。若 $y$ 是某个 $x_{n}$，那 $y$ 显然不在余集里；以下设 $y \notin \{x_{n}\}$。由于 $\{x_{n}\}$ 没有收敛子列，$\{x_{n}\}$ 中任何子列都不趋于 $y$，于是存在 $\varepsilon > 0$ 使 $B(y, \varepsilon )$ 中只含有限个 $x_{n}$（否则可以挑出趋于 $y$ 的子列）。删掉这有限多个点，就得到一个含 $y$ 的开球不碰 $\{x_{n}\}$。故余集开，$\{x_{n}\}$ 闭。

② 每个 $x_{n}$ 有一个只含有限多个 $x_{m}$ 的开邻域。 $x_{n}$ 自己也被排除在子列之外，同上可得。

③ 造一个开覆盖。 取

其中 $U_{n}$ 是 ② 中给 $x_{n}$ 的那个邻域（只含有限个 $x_{m}$）。再补上闭集的余集，$\mathcal{U}$ 就是 $X$ 的开覆盖。

④ 由紧性取有限子覆盖 $\mathcal{V} \subseteq \mathcal{U}$。若 $\mathcal{V}$ 包含那个余集，则没盖住任何 $x_{n}$；若只含有限个 $U_{n}$，而每个 $U_{n}$ 只含有限个 $x_{m}$，则 $\mathcal{V}$ 总共只盖住有限多个 $x_{m}$ —— 与 $\{x_{n}\}$ 是无限集矛盾（没有收敛子列迫使它无限）。

故 $\{x_{n}\}$ 必有收敛子列，$X$ 列紧。∎

设 $X$ 完备且全有界，$\{x_{n}\}$ 是 $X$ 中任一序列。要抽出一个收敛子列。

① 抽一个「直径越来越小」的子列。 对 $k = 1, 2, 3$ … 依次操作：由全有界，$X$ 能被有限个半径 1/k 的球盖住，于是其中一个球含有当前子列中的无穷多项（抽屉原理：有限个球盖住无穷多项，必有一个球含无穷多项）。把子列限制到这个球里。

这样得到一串子列

其中第 $k$ 个子列的项全部落在某个半径 1/k 的球内，因此它任意两项的距离 $< 2/k$。

② 对角线。 取 $y_{k} = x^\{(k)\}_{k}$（第 $k$ 个子列的第 $k$ 项）。则 $\{y_{k}\}$ 是 $\{x_{n}\}$ 的子列；且对 $k, l \ge K$，$y_{k}$ 与 $y_{l}$ 都是第 $K$ 个子列的项（下标 $\ge K$ 的项都在里面），故

于是 $\{y_{k}\}$ 是 Cauchy 列。

③ 由 $X$ 完备，$\{y_{k}\}$ 收敛。于是 $\{x_{n}\}$ 有收敛子列，$X$ 列紧。∎