紧的三个等价刻画

度量空间中：紧 $\iff$ 列紧 $\iff$ 完备 + 全有界

定理
依赖深度 layer 15
拓扑学
度量空间

thm.metric-compact-equiv · 定理 · 紧 · 列紧 · 完备 · 全有界

又称紧的等价刻画·紧等价·Heine-Borel

陈述

设 (X, d) 是距离空间。则下列三条彼此等价：

X\text{ 紧} \iff X\text{ 列紧} \iff X\text{ 完备且全有界}

说明

逻辑骨架全在箭头里（点箭头看证明）：

紧 $\implies$ 列紧
列紧 $\implies$ 全有界　（整段里唯一实质用到选择原理的一步，用的是 DC）
列紧 $\implies$ 完备
列紧 $\implies$ 紧　（「坏球」法，只用到全有界，不动选择公理）
紧 $\implies$ 完备、紧 $\implies$ 全有界
完备 + 全有界 $\implies$ 列紧　（对角线法，也不动选择公理）

于是「列紧 $\implies$ 全有界 $\implies$ 紧」与「紧 $\implies$ 列紧」闭合，三个概念打通。

⚠ 在一般拓扑空间里只有「紧 $\implies$ 列紧」成立、反向不成立 —— 列紧是度量空间特有的好运气。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

In a metric space the following are equivalent: compact, sequentially compact, and complete together with totally bounded. The skeleton lives in the implications: compact implies sequentially compact; sequentially compact implies totally bounded (the one place dependent choice is used) and complete; sequentially compact implies compact by the "bad ball" argument; complete and totally bounded implies sequentially compact by diagonalisation. In general topological spaces only the first implication survives — sequential compactness is a metric-space luxury.

谁指向它（入边）

定义引用 4

紧 → 本页定义引用

「紧的三个等价刻画」的陈述里用到了「紧」的定义。
列紧 → 本页定义引用

同上，用到了「列紧」。
完备 → 本页定义引用

同上，用到了「完备」。
全有界 → 本页定义引用

同上，用到了「全有界」。

参考

Munkres, Topology, §28 与 §43

常见问法 2 条

紧集是什么也看紧、列紧
紧和列紧等价吗也看列紧、紧

同一星团的其他概念 8 个

距离空间layer 13
紧layer 14
完备layer 14
列紧layer 14
全有界layer 14
紧子集是闭的layer 15
子集的紧性刻画layer 15

继续

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